设函数 $f(n)$ 是定义在正整数集上，并取非负整数值的函数，$f(2)=0,f(3)>0,f(9999)=3333$，且对所有 $m、n$ 均有 $f(m+n)-f(m)-f(n)=0$ 或 $1$．求 $f(1982)$ 的值．（英国）
【难度】
【出处】
1982年第23届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由已知条件知 $f(m+n)\geqslant f(m)+f(n)$ ①
令 $m=n=1$，得 $f(2)\geqslant 2f(1)$，但 $f(2)=0$，$f(1)$ 是非负整数，所以 $f(1)=0$．
令 $m=2,n=1$，得 $f(3)=f(2)+f(1)+(0或1)=0$ 或 $1$，
由 $f(3)>0$ 知 $f(3)=1$．
下面证明：对于 $k\leqslant 3333$，有 $f(3k)=k$．
利用 ① 式，可得
$\begin{aligned}
f(3k)&\geqslant f[3(k-1)]+f(3)\\
&\geqslant f[3(k-2)]+2f(3)\\
&\geqslant\cdots\geqslant kf(3)\\
&=3
\end{aligned}$
若 $f(3k)>k$，则 $f(3k)\geqslant k+1$，于是
$\begin{aligned}
f(9999)&\geqslant f(9999-3k)+f(3k)\\
&\geqslant 3333-k+k+1\\
&>3333
\end{aligned}$
这与题设矛盾，故 $f(3k)=k$．
所以，$1982=f(3\times 1982)\geqslant 3f(1982)$，即
$f(1982)\leqslant \dfrac{1982}{3}<661$．
又 $f(1982)\geqslant f(3\times 660)+f(2)=660$
所以 $f(1982)=660$．
令 $m=n=1$，得 $f(2)\geqslant 2f(1)$，但 $f(2)=0$，$f(1)$ 是非负整数，所以 $f(1)=0$．
令 $m=2,n=1$，得 $f(3)=f(2)+f(1)+(0或1)=0$ 或 $1$，
由 $f(3)>0$ 知 $f(3)=1$．
下面证明：对于 $k\leqslant 3333$，有 $f(3k)=k$．
利用 ① 式，可得
$\begin{aligned}
f(3k)&\geqslant f[3(k-1)]+f(3)\\
&\geqslant f[3(k-2)]+2f(3)\\
&\geqslant\cdots\geqslant kf(3)\\
&=3
\end{aligned}$
若 $f(3k)>k$，则 $f(3k)\geqslant k+1$，于是
$\begin{aligned}
f(9999)&\geqslant f(9999-3k)+f(3k)\\
&\geqslant 3333-k+k+1\\
&>3333
\end{aligned}$
这与题设矛盾，故 $f(3k)=k$．
所以，$1982=f(3\times 1982)\geqslant 3f(1982)$，即
$f(1982)\leqslant \dfrac{1982}{3}<661$．
又 $f(1982)\geqslant f(3\times 660)+f(2)=660$
所以 $f(1982)=660$．
答案
解析
备注
