已知 ${{a}_{1}},a_2,\cdots,a_k,\cdots$ 为两两不同的正整数，求证：对任何正整数 $n$ 有不等式：$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{{{a}_{k}}}{{{k}^{2}}}}\geqslant \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}$．（法国）
【难度】
【出处】
1978年第20届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 是 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的一个排列，且 $b_1<b_2<\cdots<b_n$，于是 $b_1\geqslant 1,b_2\geqslant 2,\cdots,b_n\geqslant n$．由于 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 与 $1,\dfrac{1}{2^2},\cdots,\dfrac{1}{n^2}$ 反序，由排序不等式，得
$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n\dfrac{{{a}_{k}}}{{{k}^{2}}}\geqslant\sum_{k=1}^n\dfrac{{{b}_{k}}}{{{k}^{2}}}\geqslant \sum_{k=1}^n\dfrac{{{k}}}{{{k}^{2}}}=\sum_{k=1}^n\dfrac{{1}}{{{k}}}$．
$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^n\dfrac{{{a}_{k}}}{{{k}^{2}}}\geqslant\sum_{k=1}^n\dfrac{{{b}_{k}}}{{{k}^{2}}}\geqslant \sum_{k=1}^n\dfrac{{{k}}}{{{k}^{2}}}=\sum_{k=1}^n\dfrac{{1}}{{{k}}}$．
答案
解析
备注
