设 $f$ 是定义在非负实数集上且在其中取值的函数，也为非负实数，求所有满足下列条件的 $f$：
（1）$f(xf(y))f(y)=f(x+y)$；
（2）$f(2)=0$；
（3）$f(x)≠0$，当 $0\leqslant x<2$ 时．（英国）
（1）$f(xf(y))f(y)=f(x+y)$；
（2）$f(2)=0$；
（3）$f(x)≠0$，当 $0\leqslant x<2$ 时．（英国）
【难度】
【出处】
1986年第27届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $y=2$ 代入（1），得 $f(x+2)=0$ ①
因为 $x\geqslant 0$，所以由 ① 式知，当 $x\geqslant 2$ 时，$f(x)=0$．再由（3）知，当 $f(x)=0$ 时，$x\geqslant 2.$
又当 $f(xf(y))=0$ 时，由（1）可得 $f(x+y)=0$，即当 $x+y\geqslant 2$ 时，有 $y\geqslant 2$ 或 $xf(y)\geqslant 2$．
于是当 $0\leqslant y<2$ 时，$xf(y)\geqslant 2$ 等价于 $x+y\geqslant 2$．即
$x\geqslant \dfrac{2}{f(y)}\Leftrightarrow x\geqslant 2-y$
所以 $\dfrac{2}{f(y)}=2-y$
$f(y)=\dfrac{2}{2-y}$
综上所述，所求的函数为
$f(x)=\begin{cases}
\dfrac{2}{2-x},&&当0\leqslant x<2时\\
0,&&当x\geqslant 2时
\end{cases}$
因为 $x\geqslant 0$，所以由 ① 式知，当 $x\geqslant 2$ 时，$f(x)=0$．再由（3）知，当 $f(x)=0$ 时，$x\geqslant 2.$
又当 $f(xf(y))=0$ 时，由（1）可得 $f(x+y)=0$，即当 $x+y\geqslant 2$ 时，有 $y\geqslant 2$ 或 $xf(y)\geqslant 2$．
于是当 $0\leqslant y<2$ 时，$xf(y)\geqslant 2$ 等价于 $x+y\geqslant 2$．即
$x\geqslant \dfrac{2}{f(y)}\Leftrightarrow x\geqslant 2-y$
所以 $\dfrac{2}{f(y)}=2-y$
$f(y)=\dfrac{2}{2-y}$
综上所述，所求的函数为
$f(x)=\begin{cases}
\dfrac{2}{2-x},&&当0\leqslant x<2时\\
0,&&当x\geqslant 2时
\end{cases}$
答案
解析
备注
