函数 $f(x,y)$ 对于所有的非负整数 $x,y$，满足条件
（1）$f(0,y)= y+1$；
（2）$f(x+1,0)= f(x,1)$；
（3）$f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))$ 。
试确定 $f(4,1981)$．（芬兰）
（1）$f(0,y)= y+1$；
（2）$f(x+1,0)= f(x,1)$；
（3）$f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))$ 。
试确定 $f(4,1981)$．（芬兰）
【难度】
【出处】
1981年第22届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $x=0$，由（2）与（1）得，$f(1,0)=f(0,1)=2$．
在（3）中令 $x=0,y=n-1$，并利用（1），有
$\begin{aligned}f(1,n)&=f(0,f(1,n-1))\\&=f(1,n-1)+1\\&=n+f(1,0)\\&=n+2\end{aligned}$ ①
由（3）及 ① 式，得
$\begin{aligned}f(2,n)&=f(1,f(2,n-1))\\&=f(2,n-1)+2\\&=2n+f(2,0)\end{aligned}$
又 $f(2,0)=f(1,1)=1+2=3$，
所以 $f(2,n)=2n+3$ ②
由（3）及 ② 式，得
$\begin{aligned}f(3,n)+3&=f(2,f(3,n-1))+3\\&=2f(3,n-1)+6\\&=2(f(3,n-1)+3)\\
&=\cdots=2^{n+3}\end{aligned}$
所以 $f(3,n)=2^{n+3}-3$ ③
由（3）及 ③ 式，得
$\begin{aligned}f(4,n)+3&=f(3,f(4,n-1))+3\\&=2^{f(4,n-1)+3}=\cdots\\&=2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2^{f(4,0)+3}}}}}}(共有n个2)\end{aligned}$
由于 $f(4,0)+3=f(3,1)+3=2^4$，
$f(4,n)=-3+2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2}}}}}$（共 $n+3$ 个 $2$），
所以 $f(4,1981)=-3+2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2}}}}}$（共 $1984$ 个 $2$）．
在（3）中令 $x=0,y=n-1$，并利用（1），有
$\begin{aligned}f(1,n)&=f(0,f(1,n-1))\\&=f(1,n-1)+1\\&=n+f(1,0)\\&=n+2\end{aligned}$ ①
由（3）及 ① 式，得
$\begin{aligned}f(2,n)&=f(1,f(2,n-1))\\&=f(2,n-1)+2\\&=2n+f(2,0)\end{aligned}$
又 $f(2,0)=f(1,1)=1+2=3$，
所以 $f(2,n)=2n+3$ ②
由（3）及 ② 式，得
$\begin{aligned}f(3,n)+3&=f(2,f(3,n-1))+3\\&=2f(3,n-1)+6\\&=2(f(3,n-1)+3)\\
&=\cdots=2^{n+3}\end{aligned}$
所以 $f(3,n)=2^{n+3}-3$ ③
由（3）及 ③ 式，得
$\begin{aligned}f(4,n)+3&=f(3,f(4,n-1))+3\\&=2^{f(4,n-1)+3}=\cdots\\&=2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2^{f(4,0)+3}}}}}}(共有n个2)\end{aligned}$
由于 $f(4,0)+3=f(3,1)+3=2^4$，
$f(4,n)=-3+2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2}}}}}$（共 $n+3$ 个 $2$），
所以 $f(4,1981)=-3+2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2}}}}}$（共 $1984$ 个 $2$）．
答案
解析
备注
