设 $f(n)$ 是定义在正整数集上的函数，并且所取得的函数值也在正整数集中．求证：如果对于每一个正整数 $n$，$f(n+1)>f[f(n)]$ 都成立，那么 $f(n)=n$ 对每一个 $n$ 值都成立．（保加利亚）
【难度】
【出处】
1977年第19届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
先用数学归纳法证明：对任意正整数 $n$，若正整数 $m\geqslant n$，则 $f(m)\geqslant n$．
$n=1$ 时命题显然成立．
假设命题在 $n-1$ 时成立，则对于 $m\geqslant n$，由归纳假设知 $f(m-1)\geqslant n-1$，于是 $f(m)>f(f(m-1))\geqslant n-1$，
所以 $f(m)\geqslant n$．
即命题在 $n$ 时成立．
由此可知 $f(n)\geqslant n,f(n+1)>f(f(n))\geqslant f(n)$，
所以 $f(n)$ 单调增加．
若存在一个正整数 $n$，使得 $f(n)>n$，则 $f(n+1)\geqslant n+1,f(f(n))\geqslant f(n+1)$，与已知矛盾．
故 $f(n)=n$．
$n=1$ 时命题显然成立．
假设命题在 $n-1$ 时成立，则对于 $m\geqslant n$，由归纳假设知 $f(m-1)\geqslant n-1$，于是 $f(m)>f(f(m-1))\geqslant n-1$，
所以 $f(m)\geqslant n$．
即命题在 $n$ 时成立．
由此可知 $f(n)\geqslant n,f(n+1)>f(f(n))\geqslant f(n)$，
所以 $f(n)$ 单调增加．
若存在一个正整数 $n$，使得 $f(n)>n$，则 $f(n+1)\geqslant n+1,f(f(n))\geqslant f(n+1)$，与已知矛盾．
故 $f(n)=n$．
答案
解析
备注
