已知 $x、y、z$ 是非负实数，且 $x+y+z=1$．求证：$0\leqslant yz+zx+xy-2xyz\leqslant \dfrac{7}{27}$．（联邦德国）
【难度】
【出处】
1984年第25届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
不妨设 $x\geqslant y\geqslant z$，则 $z\leqslant \dfrac{1}{3}$，于是
$xy+yz+zx-2xyz=xy(1-2z)+yz+zx\geqslant 0$
当 $x=1,y=z=0$ 时等号成立．
令 $z=\dfrac{1}{3}-k$，则 $0\leqslant k\leqslant\dfrac{1}{3}$，于是 $x+y=\dfrac{2}{3}+k$．
$\begin{aligned}
&xy+yz+zx-2xyz\\
&=xy(1-2z)+z(x+y)\\
&=xy\cdot \left(\dfrac{1}{3}+2k\right)+\left(\dfrac{1}{3}-k\right)\left(\dfrac{2}{3}+k\right)\\
&\leqslant \frac{(x+y)^2}{4}\left(\dfrac{1}{3}+2k\right)+\left(\dfrac{1}{3}-k\right)\left(\dfrac{2}{3}+k\right)\\
&=\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{k}{2}\right)^2\left(\dfrac{1}{3}+2k\right)+\left(\dfrac{1}{3}-k\right)\left(\dfrac{2}{3}+k\right)\\
&=\dfrac{1}{2}k^3-\dfrac{1}{4}k^2+\dfrac{7}{27}\\
&=\dfrac{1}{2}k^2\left(k-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{7}{27}\leqslant\dfrac{7}{27}
\end{aligned}$
其中等号在 $k=0$ 及 $x=y$ 时成立，即 $x=y=z=\dfrac{1}{3}$ 时成立．
证法二
因为 $0\leqslant x,y,z\leqslant 1$，所以
$\begin{aligned}
&xy+yz+zx-2xyz\\
&\geqslant xy+yz+zx-yz-zx\\
&=xy\geqslant 0
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
&(1-2x)(1-2y)(1-2z)\\
&=1-2(x+y+z)+4(xy+yz+zx)-8xyz\\
&=-1+4(xy+yz+zx-2xyz)
\end{aligned}$
当 $1-2x,1-2y,1-2z$ 均为非负时，有
$\begin{aligned}
&(1-2x)(1-2y)(1-2z)\\
&\geqslant \left(\dfrac{1-2x+1-2y+1-2z}{3}\right)^2\\
&=\dfrac{1}{27}
\end{aligned}$
由于 $x+y+z=1$，所以 $1-2x,1-2y,1-2z$ 中至多有一个为负，若 $1-2x,1-2y,1-2z$ 中有一个为负时，① 式也成立，所以
$-1+4(xy+yz+zx-2xyz)\leqslant\dfrac{1}{27}$
$xy+yz+zx-2xyz\leqslant \dfrac{7}{27}$
不妨设 $x\geqslant y\geqslant z$，则 $z\leqslant \dfrac{1}{3}$，于是
$xy+yz+zx-2xyz=xy(1-2z)+yz+zx\geqslant 0$
当 $x=1,y=z=0$ 时等号成立．
令 $z=\dfrac{1}{3}-k$，则 $0\leqslant k\leqslant\dfrac{1}{3}$，于是 $x+y=\dfrac{2}{3}+k$．
$\begin{aligned}
&xy+yz+zx-2xyz\\
&=xy(1-2z)+z(x+y)\\
&=xy\cdot \left(\dfrac{1}{3}+2k\right)+\left(\dfrac{1}{3}-k\right)\left(\dfrac{2}{3}+k\right)\\
&\leqslant \frac{(x+y)^2}{4}\left(\dfrac{1}{3}+2k\right)+\left(\dfrac{1}{3}-k\right)\left(\dfrac{2}{3}+k\right)\\
&=\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{k}{2}\right)^2\left(\dfrac{1}{3}+2k\right)+\left(\dfrac{1}{3}-k\right)\left(\dfrac{2}{3}+k\right)\\
&=\dfrac{1}{2}k^3-\dfrac{1}{4}k^2+\dfrac{7}{27}\\
&=\dfrac{1}{2}k^2\left(k-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{7}{27}\leqslant\dfrac{7}{27}
\end{aligned}$
其中等号在 $k=0$ 及 $x=y$ 时成立，即 $x=y=z=\dfrac{1}{3}$ 时成立．
证法二
因为 $0\leqslant x,y,z\leqslant 1$，所以
$\begin{aligned}
&xy+yz+zx-2xyz\\
&\geqslant xy+yz+zx-yz-zx\\
&=xy\geqslant 0
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
&(1-2x)(1-2y)(1-2z)\\
&=1-2(x+y+z)+4(xy+yz+zx)-8xyz\\
&=-1+4(xy+yz+zx-2xyz)
\end{aligned}$
当 $1-2x,1-2y,1-2z$ 均为非负时，有
$\begin{aligned}
&(1-2x)(1-2y)(1-2z)\\
&\geqslant \left(\dfrac{1-2x+1-2y+1-2z}{3}\right)^2\\
&=\dfrac{1}{27}
\end{aligned}$
由于 $x+y+z=1$，所以 $1-2x,1-2y,1-2z$ 中至多有一个为负，若 $1-2x,1-2y,1-2z$ 中有一个为负时，① 式也成立，所以
$-1+4(xy+yz+zx-2xyz)\leqslant\dfrac{1}{27}$
$xy+yz+zx-2xyz\leqslant \dfrac{7}{27}$
答案
解析
备注
