试求满足条件：
（1）$f(xf(y))= yf(x)$；
（2）当 $x\rightarrow \infty$ 时，$f(x)\rightarrow 0$ 的所有定义在正实数集上且在其中取值的函数 $f(x)$．（英国）
（1）$f(xf(y))= yf(x)$；
（2）当 $x\rightarrow \infty$ 时，$f(x)\rightarrow 0$ 的所有定义在正实数集上且在其中取值的函数 $f(x)$．（英国）
【难度】
【出处】
1983年第24届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
先证明 $1$ 在值域内．对于任意 $x_0>1$，设 $y_0=\dfrac{1}{f(x_0)}$，代入（1）得 $f(x_0f(y_0))=y_0f(x_0)=1$，所以 $1$ 在 $f$ 的值域内．
再令 $y_0$ 满足 $f(y_0)=1$，则由（1）得 $f(x)=y_0f(x)$
所以 $y_0=1$，即 $f(1)=1$．
对于任一正实数 $x$，令 $xf(x)=a$，则在（1）中取 $y=x$，得 $f(a)=a$．
若 $a>1$，则 $f(a^2)=f(af(a))=af(a)=a^2$，
由数学归纳法易知 $f(a^{2^n})=a^{2^n}\rightarrow +\infty(n\rightarrow \infty)$，
这与（2）矛盾．
若 $a<1$，则
$\begin{aligned}
1=f(1)=&f\left(\dfrac{1}{a}f(a)\right)=af\left(\dfrac{1}{a}\right)\\
&f\left(\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{1}{a}
\end{aligned}$
而 $\dfrac{1}{a}>1$，由上面的讨论（将 $\dfrac{1}{a}$ 换为 $a$）知这也是不可能的．
所以 $a=1$，即 $f(x)=\dfrac{1}{x}$．
容易验证 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 满足条件．
再令 $y_0$ 满足 $f(y_0)=1$，则由（1）得 $f(x)=y_0f(x)$
所以 $y_0=1$，即 $f(1)=1$．
对于任一正实数 $x$，令 $xf(x)=a$，则在（1）中取 $y=x$，得 $f(a)=a$．
若 $a>1$，则 $f(a^2)=f(af(a))=af(a)=a^2$，
由数学归纳法易知 $f(a^{2^n})=a^{2^n}\rightarrow +\infty(n\rightarrow \infty)$，
这与（2）矛盾．
若 $a<1$，则
$\begin{aligned}
1=f(1)=&f\left(\dfrac{1}{a}f(a)\right)=af\left(\dfrac{1}{a}\right)\\
&f\left(\dfrac{1}{a}\right)=\dfrac{1}{a}
\end{aligned}$
而 $\dfrac{1}{a}>1$，由上面的讨论（将 $\dfrac{1}{a}$ 换为 $a$）知这也是不可能的．
所以 $a=1$，即 $f(x)=\dfrac{1}{x}$．
容易验证 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 满足条件．
答案
解析
备注
