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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
18047 5c88b166210b286d125ef250 高中 解答题 自招竞赛 求证：对任意整数 $n$，分数 $\dfrac{21n+4}{14n+3}$ 不可约．（波兰） 2022-04-17 19:50:37
18041 5c820eb1210b28428f14d307 高中 解答题 自招竞赛 设 $P={{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{k}}$ 是平面上的一个凸多边形．顶点 ${{A}_{1}}\text{,}{{A}_{2}}\text{,}\cdots {{A}_{k}}$ 的纵横坐标均为整数，且都在一个圆上．$P$ 的面积记为 $S$．设 $n$ 是一个正奇数，满足 $P$ 的每条边长度的平方是被 $n$ 整除的整数．
证明：$2S$ 是整数，且被 $n$ 整除．（俄罗斯）		 2022-04-17 19:48:37
18040 5d2ffe89210b280220ed6401 高中 解答题 自招竞赛 求所有正整数对 $(k,n)$，满足 $k! =(2^n − 1)(2^n − 2)(2^n − 4)\cdots(2^n − 2^{n-1})$．（萨尔瓦多） 2022-04-17 19:47:37
16858 599165c62bfec200011e0fd1 高中 解答题 高考真题 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=\dfrac{3{\mathrm \pi} }{4}$，$AB=6$，$AC=3\sqrt2$，点 $D$ 在 $BC$ 边上，$AD=BD$，求 $AD$ 的长． 2022-04-17 19:55:26
16230 5ffbba62210b280319d00c45 高中 解答题 高中习题 任给5个整数，证明必能从中选出3个，使得他们的和能被 $3$ 整除． 2022-04-17 19:54:20
15184 5ca4146e210b28107f52aa02 高中 解答题 自招竞赛 夏令营有 $3n$（$n$ 是正整数）为女同学参加，每天都有 $3$ 位女同学担任值勤工作。夏令营结束时，发现 $3n$ 位女同学中的任何两位，在同一天担任值勤工作恰好是一次。 2022-04-17 19:24:11
15176 5ca423e7210b28107f52aa7e 高中 解答题 自招竞赛 已知 $p\text{,}q$ 为互质的正整数，$n$ 为非负整数。问：有多少个不同的整数可以表示为 $ip+jq$ 的形式，其中 $i\text{,}j$ 为非负整数，且 $i+j\leqslant n$ 。 2022-04-17 19:19:11
15171 5ca4283a210b28107f52aa9f 高中 解答题 自招竞赛 设 $m\text{,}n$ 是整数，$m\text{}n\geqslant 2$，$S=\left\{ 1,2,\cdots ,m \right\}$，$T\text{=}\left\{ {{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{n}} \right\}$ 是 $S$ 的一个子集。已知 $T$ 中的任何两个数都不能同时整除 $S$ 中的任何一个数。求证：$\frac{1}{{{a}_{1}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{a}_{n}}}\text{}\frac{m+n}{m}$ 。 2022-04-17 19:15:11
15169 5ca56b00210b281080bfd995 高中 解答题 自招竞赛 求证：对 $i\text{=}1\text{,}2\text{,}3$ 均有无穷多个正整数 $n$，使得 $n\text{,}n+2\text{,}n+28$ 中恰有 $i$ 个可表示为三个正整数的立方和。 2022-04-17 19:13:11
15164 5ca56b1f210b28107f52ab0b 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 为大于 $3$ 的质数。求证：存在若干个整数 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots {{a}_{i}}$ 满足条件 $-\frac{p}{2}<{{a}_{1}}<{{a}_{2}}<\cdots <{{a}_{i}}<\frac{p}{2}$，使得乘积 $\frac{p-{{a}_{1}}}{\left| {{a}_{1}} \right|}\cdot \frac{p-{{a}_{2}}}{\left| {{a}_{2}} \right|}\cdots \frac{p-{{a}_{i}}}{\left| {{a}_{i}} \right|}$ 是 $3$ 的某个正整数次幂。 2022-04-17 19:11:11
15159 5cac17c1210b2866bb0a6958 高中 解答题 自招竞赛 对于正整数 $n$，令 ${{f}_{n}}\text{=}\left[ {{2}^{n}}\sqrt{2008} \right]+\left[ {{2}^{n}}\sqrt{2009} \right]$ 。求证：数列 ${{f}_{1}}\text{,}{{f}_{2}}\text{,}\cdots $ 中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（$\left[ x \right]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数）。 2022-04-17 19:09:11
15154 5caecd7a210b280220ed1c28 高中 解答题 自招竞赛 设正整数 $a$ 不为完全平方数，$r$ 为关于 $x$ 的方程 ${{x}^{3}}-2ax+1=0$ 的一个实根。证明：$r+\sqrt{a}$ 为无理数。 2022-04-17 19:05:11
15153 5caecd8c210b280220ed1c32 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为正整数，$S$ 为 $\{1,2,\cdots ,n\}$ 中所有与 $n$ 互素的数构成的集合。记 ${{S}_{1}}=S\bigcap \left( 0,\frac{n}{3} \right]$，${{S}_{2}}=S\bigcap \left( \frac{n}{3},\frac{2n}{3} \right]$，${{S}_{3}}=S\bigcap \left( \frac{2n}{3},n \right]$ 。若集合 $S$ 的元素个数为3的倍数，证明：集合 ${{S}_{1}}$、${{S}_{2}}$、${{S}_{3}}$ 的元素个数相等。 2022-04-17 19:05:11
15151 5caed9f9210b280220ed1c60 高中 解答题 自招竞赛 对每个正整数 $n$，记 $g(n)$ 为 $n$ 与2015的最大公约数，求满足下列条件的有序三元数组 $(a,b,c)$ 的个数：
1）$a,b,c\in \{1,2,\cdots ,2015\}$；
2）$g(a),g(b),g(c),g(a+b),g(b+c),g(c+a),g(a+b+c)$ 这七个数两两不同．		 2022-04-17 19:03:11
15150 5caed9fe210b28021fc754ad 高中 解答题 自招竞赛 有多少个不同的三边长为整数的直角三角形，其面积值是周长值的999倍？（全等的两个三角形看作相同的） 2022-04-17 19:03:11
15110 5cfdc7dd210b280220ed4131 高中 解答题 自招竞赛 对任何正整数 $n$，求证：$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n} C_{n}^{k} 2^{k} C_{n-k}^{\left[\frac{n-k}{2}\right]}=C_{2 n+1}^{n}$
其中 $C_{0}^{0}=1,\left[\dfrac{n-k}{2}\right]$ 表示 $\dfrac{n-k}{2}$ 的整数部分．		 2022-04-17 19:40:10
15107 5d073177210b280220ed46ba 高中 解答题 自招竞赛 设 $m$ 是给定的整数．求证：存在整数 $a,b$ 和 $k$，其中 $a,b$ 不能被 $2$ 整除，$k\geqslant 0$，使得
$2m = a^{19} + b^{99} + k\cdot 2^{1999}$		 2022-04-17 19:38:10
15103 5d0cb8a7210b28021fc77653 高中 解答题 自招竞赛 求所有满足 $a\geqslant 2,m\geqslant 2$ 的三元正整数组 $(a,m,n)$，使得 $a^n+ 203$ 是 $a^m+ 1$ 的倍数． 2022-04-17 19:36:10
15097 5d106a0f210b280220ed4bad 高中 解答题 自招竞赛 证明：除了有限个正整数外，其他正整数 $n$ 均可表示为 $2 004$ 个正整数之和，即 $n=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2004}$ 且满足 $1 \leqslant a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{2004}, a_{i} | a_{i+1}, i=1,2, \cdots,2003$． 2022-04-17 19:34:10
15094 5d118e69210b280220ed4cb5 高中 解答题 自招竞赛 正整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{2006}$（可以有相同的）使得 $\dfrac{a_{1}}{a_{2}}, \dfrac{a_{2}}{a_{3}}, \cdots,\dfrac{a_{2005} }{a_{2006} }$ 两两不相等．问：$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{2006}$ 中最少有多少个不同的数？ 2022-04-17 19:33:10
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