在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=\dfrac{3{\mathrm \pi} }{4}$，$AB=6$，$AC=3\sqrt2$，点 $D$ 在 $BC$ 边上，$AD=BD$，求 $AD$ 的长．
【难度】
【出处】
2015年高考安徽卷（理）
【标注】
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标注答案$AD=\sqrt{10}$．解析利用正余弦定理结合三角恒等变换公式进行求解．设 $\triangle ABC$ 的内角 $\angle BAC$，$\angle B$，$\angle C$ 所对边的长分别是 $a$，$b$，$c$．由余弦定理，得\[\begin{split}a^2=b^2+c^2-2bc \cos \angle BAC=90,\end{split}\]所以\[a=3\sqrt{10} .\]又由正弦定理，得\[\sin {B}=\dfrac{b\sin\angle BAC}{a}=\dfrac{\sqrt{10}}{10} ,\]由题设知 $0<B<\dfrac{\mathrm \pi} {4}$，所以\[\cos B\overset {\left[a\right]}=\sqrt{1-\sin ^2{B}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10} .\]（推导中用到 $\left[a\right]$．）在 $\triangle ABD$ 中，因为 $AD=BD$，所以 $\angle ABD=\angle BAD$，所以 $\angle ADB={\mathrm \pi} -2B$，故由正弦定理，得\[\begin{split}AD&=\dfrac{AB\cdot \sin B}{\sin\left({\mathrm \pi} -2B\right)}\\&\overset {\left[b\right]}=\dfrac{6\sin B}{2\sin B \cos B}\\&=\sqrt{10}.\end{split}\]（推导中用到 $\left[b\right]$．）
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
