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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
18044 5c88b17d210b286d125ef25c 高中 解答题 自招竞赛 求作一个直角三角形，使其斜边等于给定的线段 $c$，斜边上的中线是两条直角边的比例中项．（匈牙利） 2022-04-17 19:49:37
18043 5c88b18d210b286d074540ce 高中 解答题 自招竞赛 在平面上已知一线段 $AB$，$M$ 为 $AB$ 上任一点，在 $AB$ 的一侧分别以 $AM$ 与 $MB$ 为一边作正方形 $AMCD$ 与 $MBEF$．这两个正方形的外接圆除相交于点 $M$ 外，还相交于点 $N$．
的圆心分别是 $P、Q$，设这两个外接圆又交于 $M、N$ 。
（$a$）求证：直线 $AF$ 与 $BC$ 相交于 点 $N$；
（$b$）求证：不论点 $M$ 在线段 $AB$ 上的位置如何，直线 $MN$ 总通过一定点；
（$c$）点 $M$ 在 线段 $AB$ 上运动时，求上述两个正方形中心 $P,Q$ 联线的中点的轨迹．（罗马尼亚）		 2022-04-17 19:49:37
18042 5c88b192210b286d074540d3 高中 解答题 自招竞赛 两个平面 $P$ 和 $Q$ 相交于直线 $p$，已知点 $A$ 在平面 $P$ 内而不在平面 $Q$ 内，$C$ 在平面 $Q$ 内而不在平面 $P$ 内，且都不在 $p$ 上．求作一四边形 $ABCD$ 满足 $AB\parallel CD,AD=BC$，且点 $B$ 在平面 $P$ 内，点 $D$ 在平面 $Q$ 内，并使这个四边形存在内切圆．（捷克斯洛伐克） 2022-04-17 19:48:37
18038 5d2e85af210b280220ed622d 高中 解答题 自招竞赛 在三角形 $ ABC$ 中，点 $ A_1$ 在边 $BC$ 上，点 $B_1$ 在边 $ AC$ 上．点 $P $ 和点 $Q $ 分别在线段 $AA_1$ 和 $BB_1$ 上，满足 $PQ$ 与 $ AB$ 平行．设 $ P_1$ 是直线 $PB_1$ 上一点，满足 $B_1$ 在线段 $P P_1$ 上（不含端点），且 $\angle P P_1C = \angle BAC$．类似定义点 $Q_1$ 在直线 $QA_1$ 上一点，满足 $A_1$ 在线段 $QQ_1$ 上（不含端点），且 $\angle CQ_1Q = \angle CBA$．证明：$P, Q, P_1, Q_1$ 四点共圆．（乌克兰） 2022-04-17 19:47:37
18035 5d2ffed9210b28021fc788bb 高中 解答题 自招竞赛 在锐角三角形 $ABC$ 中，$I$ 是内心，$AB \not= AC$．三角形 $ABC$ 的内切圆 $\omega$ 与边 $BC,CA$ 和 $AB$ 分别相切于点 $D$，$E$ 和 $F$．过点 $D$ 且垂直于 $EF $ 的直线与 $\omega$ 的另一点交点为 $R$．直线 $AR$ 与 $\omega$ 的另一交点为 $P$．三角形 $P CE$ 和三角形 $P BF$ 的外接圆交于另一点 $Q$．
证明：直线 $DI$ 和 $P Q$ 的交点在过点 $A$ 且垂直于 $AI$ 的直线上．（印度）		 2022-04-17 19:45:37
16614 599165c62bfec200011e10d7 高中 解答题 高考真题 如图，$ EP $ 交圆于 $ E$，$C $ 两点，$ PD $ 切圆于 $ D $，$ G $ 为 $ CE $ 上一点且 $PG = PD$，连接 $ DG $ 并延长交圆于点 $ A $，作弦 $ AB $ 垂直 $ EP $，垂足为 $ F $． 2022-04-17 19:36:24
15174 5ca42825210b28107f52aa98 高中 解答题 自招竞赛 是否存在这样的凸多面体，它共有 $8$ 个顶点、$12$ 条棱和 $6$ 个面，并且其中有 $4$ 个面，每两个面都有公共棱？ 2022-04-17 19:17:11
15162 5ca5da71210b28107f52abe1 高中 解答题 自招竞赛 给定一个长轴与短轴不等长的椭圆． 2022-04-17 19:10:11
15092 5d1311ae210b280220ed4e53 高中 解答题 自招竞赛 设锐角 $\triangle ABC$ 的三边长互不相等，$ O$ 为其外心，点 $A^\prime$ 在线段 $ AO $ 的延长线上，使得 $\angle B A^{\prime} A=\angle C A^{\prime} A$．过 $A^{\prime}$ 作 $A^{\prime} A_{1} \perp A C, A^{\prime} A_{2} \perp A B$，垂足分别为 $A_{1}, A_{2}$，作 $A H_{A} \perp B C$，垂足为 $H_{A}$．记 $\triangle H_{A} A_{1} A_{2}$ 的外接圆半径为 $R_A$，类似地可 $R_{B}, R_{C}$．求证：$\dfrac{1}{R_{A}}+\dfrac{1}{R_{B}}+\dfrac{1}{R_{C}}=\dfrac{2}{R}$
其中，$R$ 为 $ \triangle ABC$ 的外接圆半径．		 2022-04-17 19:31:10
15080 5d3fb366210b28021fc78f44 高中 解答题 自招竞赛 设 $ABCD$ 是面积为 $2$ 的长方形，$P$ 为边 $CD$ 上的一点，$Q$ 为 $\triangle PAB$ 的内切圆与边 $AB$ 的切点．乘积 $PA\cdot PB$ 的值随着长方形 $ABCD$ 及点 $P$ 的变化而变化，当 $PA\cdot PB$ 取最小值时．
（1）证明：$A B \geqslant 2 B C$；
（2）求 $AQ\cdot BQ$ 的值．		 2022-04-17 19:27:10
15015 6007a7a48874860009b91f2c 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，三条直线 $l_1,l_2,l_3$ 两两平行，直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的距离为 $p$，直线 $l_2$ 与 $l_3$ 的距离为 $\frac{p}{2}$．$A,B$ 是直线 $l_1$ 上的两个定点，且 $|AB|=2p$．$M,N$ 是直线 $l_2$ 上的两个动点，且 $|MN|=2p$．设 $\triangle AMN$ 的外心为 $C$，点 $C$ 到直线 $l_3$ 的距离为 $d$．试求 $d+|BC|$ 的最小值． 2022-04-17 19:48:09
1995 5c8615b1210b284290fc2b48 高中 选择题 高中习题 我是一道测试的题目 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:45:11
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