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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20378 5ca4148f210b28107f52aa11 高中 解答题 自招竞赛 设 ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{8}}$ 是平面上任意取定的 $8$ 个点。对平面上任意取定的一条有向直线 $l$，设 ${{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{8}}$ 在该直线上的射影分别是 ${{P}_{1}},{{P}_{2}},\cdots ,{{P}_{8}}$ 。如果这 $8$ 个射影两两不重合，依直线 $l$ 的方向依次排列为 ${{P}_{{{i}_{1}}}},{{P}_{{{i}_{2}}}},\cdots ,{{P}_{{{i}_{8}}}}$ 。这样，就得到了 $1\text{,}2\text{,}3\text{,}4\text{,}5\text{,}6\text{,}7\text{,}8$ 的一个排列 ${{i}_{1}}\text{,}{{i}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{i}_{8}}$（在图1中，此排列为 $2\text{,}1\text{,}8\text{,}3\text{,}7\text{,}4\text{,}6\text{,}5$）。设这 $8$ 个点对平面上所有有向直线作射影后，得到的不同排列的个数为 ${{N}_{8}}\text{=}N\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots {{A}_{8}} \right)$ 。试求 ${{N}_{8}}$ 的最大值。 2022-04-17 19:15:59
20372 5ca41c89210b281080bfd8ce 高中 解答题 自招竞赛 对于任意正整数 $n$，记 $n$ 的所有正约数组成的集合为 ${{S}_{n}}$ 。证明：${{S}_{n}}$ 中至少有一半元素的个位数为 $3$ 。 2022-04-17 19:10:59
20348 5ca5a680210b28107f52ab74 高中 解答题 自招竞赛 $n$ 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局。规定：胜者得 $1$ 分，负者得 $0$ 分，平局各得 $0.5$ 分。如果赛后发现任何 $m$ 个棋手中都有一个棋手胜了其余 $m-1$ 个棋手，也有一个棋手输给了其余 $m-1$ 个棋手，就称此赛况具有性质 $P\left( m \right)$ 。 对给定的 $m\left( m\geqslant 4 \right)$，求 $n$ 的最小值 $f\left( m \right)$，使得对具有性质 $P\left( m \right)$ 的任何赛况，都有所有 $n$ 名棋手的得分各不相同。 2022-04-17 19:57:58
20321 5cac17ba210b2866bc014618 高中 解答题 自招竞赛 给定一个 $2008\times 2008$ 的棋盘，棋盘上每个小方格的颜色均不相同，在棋盘的每个小方格中填入 $C$、$G$、$M$、$O$ 这 $4$ 个字母中的一个，若棋盘中每一个 $2\times 2$ 的小棋盘中都有 $C$、$G$、$M$、$O$ 这 $4$ 个字母，则称这个棋盘为“和谐棋盘”。问有多少种不同的和谐棋盘？ 2022-04-17 19:41:58
20319 5cac2742210b2866bb0a6976 高中 解答题 自招竞赛 在平面直角坐标系中，设点集 $\left\{ {{P}_{1}}\text{,}{{P}_{2}},\cdots \text{,}{{P}_{4n+1}} \right\}\text{=}\left\{ \left. \left( x\text{,}y \right) \right|x\text{,}y\in \mathbb{Z}\text{,}\left| x \right|\leqslant n\text{,}\left| y \right|\leqslant n\text{,}xy\text{=}0 \right\}$，其中 $n\in {{\mathbb{N}}_{+}}$ 。求 ${{\left( {{P}_{1}}{{P}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{P}_{2}}{{P}_{3}} \right)}^{2}}+\cdots +{{\left( {{P}_{4n}}{{P}_{4n+1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{P}_{4n+1}}{{P}_{1}} \right)}^{2}}$ 的最小值。 2022-04-17 19:40:58
20318 5cac2748210b2866bb0a697b 高中 解答题 自招竞赛 设平面上有 $n\left( n\geqslant 4 \right)$ 个点 ${{V}_{1}}\text{,}{{V}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{V}_{n}}$，任意三点不共线，某些点之间连有线段。把标号分别为 $1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}n$ 的 $n$ 枚棋子放置在这 $n$ 个点处，每个点处恰有一枚棋子。现对这 $n$ 枚棋子进行如下操作：每次选取若干枚棋子，将它们分别移动到与自己所在点有线段相连的另一点处；操作后每点处仍恰有一枚棋子，并且没有两枚棋子在操作前后交换位置。若一种连线段的方式使得无论开始时如何放置这 $n$ 枚棋子，总能经过有限次操作后，是每个标号为 $k$ 的棋子在点 ${{V}_{k}}$ 处，则称这种连线段的方式为“和谐的”。求在所有和谐的连线段的方式中，线段数目的最小值。 2022-04-17 19:39:58
20316 5cac275b210b2866bb0a6983 高中 解答题 自招竞赛 在一个 $10\times 10$ 的方格表中有一个由 $4n$ 个 $1\times 1$ 的小方格组成的图形，它即可被 $n$ 个“”型的图形覆盖，也可被 $n$ 个“”或“”型（可以旋转）的图形覆盖。求正整数 $n$ 的最小值。 2022-04-17 19:39:58
20308 5cac2d7a210b28193dc2e901 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n\left( n\geqslant 3 \right)$ 。对于 $1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}n$ 的任意一个排列 $P\text{=}\left( {{x}_{1}}\text{,}{{x}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{x}_{n}} \right)$，若 $i$ < $j$ < $k$，则称 ${{x}_{j}}$ 介于 ${{x}_{i}}$ 和 ${{x}_{k}}$ 之间（如在排列 $\left( 1\text{,}3\text{,}2\text{,}4 \right)$ 中，$3$ 介于 $1$ 和 $4$ 之间，$4$ 不介于 $1$ 和 $2$ 之间）。设集合 $S\text{=}\left\{ {{P}_{1}}\text{,}{{P}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{P}_{m}} \right\}$ 的每个元素 ${{P}_{i}}$ 是 $1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}n$ 的排列。已知 $\left\{ 1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}n \right\}$ 的任意三个不同数中都有一个数，它在每个 ${{P}_{i}}\left( 1\leqslant i\leqslant m \right)$ 中都不介于另外两个数之间。求 $m$ 的最大值。 2022-04-17 19:34:58
20304 5cac35cf210b28193dc2e93d 高中 解答题 自招竞赛 有 $n(n\geqslant 3)$ 名乒乓球选手参加循环赛，每两名选手之间恰比赛一次（比赛无平局）。赛后发现，可以将这些选手排成一圈，使得对于任意三名选手 $A$、$B$、$C$，若 $A$、$B$ 在圈上相邻，则选手 $A$、$B$ 中至少有一人战胜了选手 $C$ 。求 $n$ 的所有可能值。 2022-04-17 19:32:58
20301 5cac35df210b281942e4f505 高中 解答题 自招竞赛 从左到右编号为 ${{B}_{1}},{{B}_{2}},\cdots ,{{B}_{n}}$ 的 $n$ 个盒子共装有 $n$ 个小球，每次可以选择一个盒子 ${{B}_{k}}$ 进行如下操作：若 $k=1$，且 ${{B}_{1}}$ 中至少有一个小球，则可以从 ${{B}_{1}}$ 中移1个小球至 ${{B}_{2}}$ 中；若 $k=n$，且 ${{B}_{n}}$ 中至少有一个小球，则可以从 ${{B}_{n}}$ 中移1个小球至 ${{B}_{n-1}}$ 中；若 $2\leqslant k\leqslant n-1$，且 ${{B}_{k}}$ 中至少有两个小球，则可以从 ${{B}_{k}}$ 中分别移1个小球至 ${{B}_{k-1}}$ 和 ${{B}_{k+1}}$ 中。证明：无论初始时这些小球如何放置，总能经过有限次操作，使得每个盒子中恰有一个小球。 2022-04-17 19:31:58
20283 5caeb5d1210b280220ed1bcc 高中 解答题 自招竞赛 在正十三边形的13个顶点上各摆放一枚黑子或白子，一次操作是指将两枚棋子的位置交换。求证：无论开始时棋子是如何摆放的，总可以至多操作一次，使得各个棋子的颜色关于正十三边形的某一条对称轴是对称的。 2022-04-17 19:21:58
20281 5caeb5db210b280220ed1bd7 高中 解答题 自招竞赛 某个国家有 $n$ 个城市（$n\geqslant 3$），每两个城市之间都有一条双向航线。这个国家有两个航空公司，每条航线由一家公司经营。一个女数学家从某个城市出发，经过至少两个其他城市，回到出发地。如果无论怎样选择出发城市和路径，都无法只乘坐一家公司的航班，求 $n$ 的最大值。 2022-04-17 19:20:58
20279 5caeb5eb210b280220ed1be1 高中 解答题 自招竞赛 集合 $\left\{ 0,1,2,\cdots ,2012\right\}$ 中有多少个元素 $k$，使得 $C_{2012}^{k}$ 是2012的倍数？ 2022-04-17 19:19:58
20272 5caed9f3210b280220ed1c5b 高中 解答题 自招竞赛 把12×12的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色，使得由方格线围成的任意一个3×4或4×3的长方形内都至少有一个黑色单位方格．试求黑色单位方格个数的最小值． 2022-04-17 19:17:58
19953 5ce63ab1210b280220ed3399 高中 解答题 自招竞赛 设集合 $A=\{1,2,\cdots,n\}$，$X,Y$ 均为 $A$ 的非空子集（允许 $X=Y$）．$X$ 中的最大元与 $Y$ 中的最小元分别记为 $\max X,\min Y$．求满足 $\max X>\min Y$ 的有序集合对 $(X,Y)$ 的数目． 2022-04-17 19:13:55
19927 5cedfd48210b28021fc76a16 高中 解答题 自招竞赛 能否把 $1,1,2,2,3,3, \cdots, 1986,1986$ 这些数重新排成一行，使得两个 $1$ 之间夹着一个数，两个 $2$ 之间夹着两个数，$\cdots$，两个 $1986$ 之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论． 2022-04-17 19:56:54
19926 5cee23c5210b28021fc76a39 高中 解答题 自招竞赛 用任意的方式，给平面上的每一个点染上黑色或白色．求证：一定存在一个边长为 $1$ 或 $\sqrt{3}$ 的正三角形，它的三个顶点是同色的． 2022-04-17 19:56:54
19919 5cee6275210b280220ed3977 高中 解答题 自招竞赛 某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负．通过比赛确定优秀选手．选手 $A$ 被确定为优秀选手的条件是：对任何其他选手 $B$，或者 $A$ 胜 $B$；或者存在选手 $C $，$ C $ 胜 $ B $，$ A $ 胜 $ C$．
如果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证：这名选手胜所有其他的选手．		 2022-04-17 19:51:54
19896 5cef9653210b28021fc76b78 高中 解答题 自招竞赛 在有限的实数列 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}(*)$ 中，如果有一段数 $a_{k}, \cdots, a_{k+l-1}$ 的算术平均数大于 $1988$，那么我们把这段数叫做一条"龙"，并把 $a_{k}$ 称为这条龙的"龙头"（如果某一项 $a_m>1988$，那么单独这一项也是龙）．假定 $(*)$ 中至少存在一条龙，证明：$(*)$ 中全体可以作为龙头的项的算术平均数也必定大于 $1988$． 2022-04-17 19:40:54
19870 5cf4b5cc210b28021fc76d2e 高中 解答题 自招竞赛 设 $X$ 是一个有限集合，法则 $f$ 使得 $X$ 的每一个偶子集 $E$（偶数个元素组成的子集）都对应一个实数 $f(E)$，且满足条件：
（Ⅰ）存在一个偶子集 $D$，使得 $f(D)>1990$；
（Ⅱ）对于 $X$ 的任意两个不相交的偶子集 $A,B$，有 $f(A \cup B)=f(A)+f(B)-1990$
求证：存在 $X$ 的子集 $P$ 和 $Q$，满足
（1）$P \cap Q=\varnothing, P \cup Q=X$；
（2）对 $P$ 的任何非偶子集 $S$，有 $f(S)>1990$；
（3）对 $Q$ 的任何偶子集 $T$，有 $f(T) \leqslant 1990$．		 2022-04-17 19:26:54
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