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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19809 5d032b98210b28021fc77201 高中 解答题 自招竞赛 设非负数列 $a1,a2,\cdots$ 满足条件 $a_{n+m} \leqslant a_{n}+a_{m}, m, n \in \mathbf{N}$
求证：对任意 $n\geqslant m$ 均有 $a_{n} \leqslant m a_{1}+\left(\dfrac{n}{m}-1\right) a_{m}$		 2022-04-17 19:55:53
19805 5d06fcf4210b280220ed4610 高中 解答题 自招竞赛 设 $n\geqslant 2$，$x_1, x_2,\cdots,x_n$ 均为实数，且 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^nx^2_i+\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1}=1$．对于每一个固定的 $k(k\in N,1\leqslant k\leqslant n)$，求 $|x_k|$ 的最大值． 2022-04-17 19:52:53
19797 5d0746a7210b28021fc7739a 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n\}$ 定义如下：$a_{1}=0, a_{2}=1, a_{n}=\frac{1}{2} n a_{n-1}+\frac{1}{2} n(n-1) a_{n-2}+(-1)^{n}\left(1-\frac{n}{2}\right), n \geqslant 3$．试求 $f_{n}=a_{n}+2 C_{n}^{1} a_{n-1}+3 C_{n}^{2} a_{n-2}+\cdots+(n-1) C_{n}^{a-2} a_{2}+n C_{n}^{n-1} a_{1}$ 的最简表达式． 2022-04-17 19:47:53
19785 5d0b1e66210b28021fc774d3 高中 解答题 自招竞赛 记 $a=2001$，设 $A$ 是适合下列条件的正整数对 $(m,n)$ 所组成的集合：
（1）$m<2 a$
（2）$2 n |\left(2 a m-m^{2}+n^{2}\right) ;$
（3）$n^{2}-m^{2}+2 m n \leqslant 2 a(n-m)$
令 $f=\dfrac{2 a m-m^{2}-m m}{n}$，求 $\min\limits _{(n, n) \in A}f$ 和 $\max\limits _{(m, n) \in A} f$．		 2022-04-17 19:42:53
19780 5d0b4331210b280220ed4927 高中 解答题 自招竞赛 设多项式充列 $\left\{p_{n}(x)\right\}$ 满足：$P_{1}(x)=x^{2}-1, P_{2}(x)=2 x\left(x^{2}-1\right)$ 且 $P_{n+1}(x) P_{n-1}(x)=\left(P_{n}(x)\right)^{2}-\left(x^{2}-1\right)^{2}, n=2,3, \cdots$ ①
设 $S_n$ 为 $P_n(x)$ 各项系数的绝对值之和，对于任意正整数 $n$，求非负整数 $k_n$，使得 $2^{-k_n}S_n$ 为奇数．		 2022-04-17 19:38:53
19772 5d0caf47210b280220ed4a77 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $ n$，求最小的正数 $\lambda$，使得对于任何 $\theta_i\in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)(i=1,2, \cdots, n)$，只要 $\tan \theta_{1} \cdot \tan \theta_{2} \cdots \cdots \cdot \tan \theta_{n}=2^{\tfrac{n}{2}}$，就有 $\cos \theta_{1}+\cos \theta_{2}+\cdots+\cos \theta_{n}$ 不大于 $\lambda$． 2022-04-17 19:34:53
19770 5d1064af210b280220ed4b7f 高中 解答题 自招竞赛 给定实数 $a$ 和正整数 $n$，求证：
（1）存在唯一的实数数列 $x_0,x_1, \cdots,x_n,x_{n+ 1}$，满足
$\left\{\begin{array}{l}{x_{0}=x_{n+1}=0} \\ {\dfrac{1}{2}\left(x_{i+1}+x_{i1}\right)=x_{i}+x_{i}^{3}-a^{3}, i=1,2, \cdots, n}\end{array}\right.$
（2）（1）中的数列 $x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}, x_{n+1}$ 满足 $\left|x_{i}\right| \leqslant|a|, i=0,1, \cdots, n+1$		 2022-04-17 19:33:53
19766 5d10a5de210b28021fc7774f 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足条件 $a_{1}=\dfrac{21}{16}$，及 $2 a_{n}-3 a_{n-1}=\dfrac{3}{2^{n+1}}, n \geqslant 2$ ①
设 $m$ 为正整数，$m\geqslant 2$．证明：当 $n\leqslant m$ 时，有 $\left(a_{n}+\dfrac{3}{2^{n+3}}\right)^{\tfrac{1}{m}}\left(m-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{\tfrac{n(m-1)}{m}}\right)<\dfrac{m^{2}-1}{m-n+1}$ ②		 2022-04-17 19:31:53
19762 5d118b1d210b280220ed4ca1 高中 解答题 自招竞赛 实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 满足 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=0$，求证：$\displaystyle \max\limits _{1 \leqslant k \leqslant n}\left(a_{k}^{2}\right) \leqslant \dfrac{n}{3} \sum\limits_{i = 1}^{n-1}\left(a_{i}-a_{i+1}\right)^{2}$ 2022-04-17 19:29:53
19759 5d11cbeb210b280220ed4d5b 高中 解答题 自招竞赛 实数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{1}=\dfrac{1}{2},a_{k+1}=-a_{k}+\dfrac{1}{2-a_{k}}, k=1,2, \cdots$
证明：不等式 $\left(\dfrac{n}{2\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)}-1\right)^{n} \leqslant\left(\dfrac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\right)^{n} \leqslant\left(\dfrac{1}{a_{1}}-1\right)\left(\dfrac{1}{a_{2}}-1\right) \cdots\left(\dfrac{1}{a_{n}}-1\right)$		 2022-04-17 19:27:53
19755 5d11dc05210b280220ed4db3 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b, c$ 是给定复数，记 $|a+b|=m,|a-b|=n$．已知 $m n \neq 0$，求证 $\max \{|a c+b|,|a+b c|\} \geqslant \dfrac{m n}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}}$ 2022-04-17 19:24:53
19752 5d130040210b280220ed4e16 高中 解答题 自招竞赛 设有界数列 $\{a_n \}_{n\geqslant 1}$ 满足 $\displaystyle a_{n}<\sum\limits_{k=n}^{2 n+2006} \frac{a_{k}}{k+1}+\dfrac{1}{2 n+2007}, n=1,2,3, \cdots$ 证明：$a_{n}<\dfrac{1}{n}, n=1,2,3, \cdots$ 2022-04-17 19:23:53
19735 5d142b64210b28021fc7797c 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n\geqslant 3$，实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 满足 $\min\limits _{1 \leqslant i<j \leqslant n} | a_{i}-a_{j} |=1$，求 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}\left|a_{k}\right|^{3}$ 的最小值． 2022-04-17 19:14:53
19724 5d01b9aa210b28021fc77110 高中 解答题 自招竞赛 设 $n \in \mathbf{N}, x_{0}=0, x_{i}>0, i=1,2, \cdots, n$，且 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}=1$．求证：$\displaystyle 1 \leqslant \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{x_{i}}{\sqrt{1+x_{0}+x_{1}+\cdots+x_{i-1}} \sqrt{x_{i}+\cdots+x_{n}}}<\frac{n}{2}$ 2022-04-17 19:10:53
19716 5cf5ece5210b280220ed3e1b 高中 解答题 自招竞赛 设 $I=[0,1], G=\{(x, y) | x \in I, y \in I\}$，求 $G$ 到 $I$ 的所有映射 $f$，使得对任何 $x, y, z \in {I}$，有
（1）$f(f(x, y), z)=f(x, f(y, z))$
（2）$f(x, 1)=x, f(1, y)=y$
（3）$f(z x, z y)=z^{k} f(x, y)$
这里 $k$ 是 与 $x,y,z$ 都无关的正数．		 2022-04-17 19:08:53
19714 5cf4b16a210b28021fc76d22 高中 解答题 自招竞赛 设 $a$ 是给定的正整数，$A$ 和 $B$ 是两个实数，试确定方程组 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=(B a)^{2},x^{2}\left(A x^{2}+B y^{2}\right)+y^{2}\left(A y^{2}+B z^{2}\right)+z^{2}\left(A z^{2}+B x^{2}\right)=\dfrac{1}{4}(2 A+B)(B a)^{4}$ 有正整数解的充分必要条件（用 $A,B$ 的关系式表示，并予以证明）． 2022-04-17 19:07:53
19708 5d15a94a210b28021fc77a1e 高中 解答题 自招竞赛 设复数 $a、b、c$ 满足：对任意模不超过 $1$ 的复数 $z$，都有 $\left|a z^{2}+b z+c\right| \leqslant 1$．求 $|bc|$ 的最大值． 2022-04-17 19:01:53
19689 5d15c3a0210b280220ed514b 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}(n \geqslant 3)$ 是实数．证明：$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2}-\sum_{i=1}^{n} a_{i} a_{i+1} \leqslant\left[\frac{n}{2}\right](M-m)^{2}$，其中，$a_{n+1}=a_{1}, M=\max\limits
_{1 \leqslant i \leqslant n} a_{i}, m=\min\limits
_{1 \leqslant i \leqslant n} a_{i},[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数．		 2022-04-17 19:49:52
19687 5d15d3a9210b280220ed5189 高中 解答题 自招竞赛 设 $A$ 是一个有限实数集，$A_1 ,A_2 , \cdots, A_n$ 是 $A$ 的非空子集，满足
（1）$A$ 中所有元素之和为 $0$；
（2）对任意 $x_{i} \in A_{i}(i=1,2, \cdots, n)$，都有 $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}>0$．
证明：存在 $1 \leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{k} \leqslant n$，使得 $\left|A_{i_{1}} \bigcup A_{i_{2}} \bigcup \cdots \bigcup A_{i_{k}}\right|<\dfrac{k}{n}|A|$，其中，$|X|$ 表示有限集合 $X$ 的元素个数．		 2022-04-17 19:48:52
19686 5d15ef91210b280220ed51b0 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n(n\geqslant 4)$，对任意满足 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}>0$ 的非负实数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$，求 $\displaystyle \dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right)}$ 的最大值． 2022-04-17 19:47:52
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