设有界数列 $\{a_n \}_{n\geqslant 1}$ 满足 $\displaystyle a_{n}<\sum\limits_{k=n}^{2 n+2006} \frac{a_{k}}{k+1}+\dfrac{1}{2 n+2007}, n=1,2,3, \cdots$ 证明：$a_{n}<\dfrac{1}{n}, n=1,2,3, \cdots$
【难度】
【出处】
2007第22届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $b_{n}=a_{n}-\frac{1}{n}$，则 $\displaystyle b_{n}<\sum\limits_{k=n}^{2 n+2006} \dfrac{b_{k}}{k+1}, n \geqslant 1$ ①
下证 $b_{n}<0$．因为 $a_n$ 有界，故存在常数 $M$，使得 $b_n<M$．当 $n>100000$ 时，我们有 $\displaystyle b_{n}<\sum\limits_{k=n}^{2 n+2} \dfrac{b_{k}}{k+1}<M \sum_{k=n}^{2 n+2} \dfrac{1}{k+1}=M \sum_{k=n}^{\left[\tfrac{3 n}{2}\right]} \dfrac{1}{k+1}+M \sum_{k=\left[\dfrac{3 n}{2}\right]+1}^{2 n+2006} \dfrac{1}{k+1}<M \cdot \dfrac{1}{2}+M \cdot \frac{\frac{n}{2}+2006}{\tfrac{3 n}{2}+1}<\dfrac{6}{7} M$
由此可以得到，对任意的正整数 $m$ 有 $b_{n}<\left(\dfrac{6}{7}\right)^{m} M$ 于是有 $b_{n} \leqslant 0, n \geqslant 100000$
将其代入 ①，得 $b_{n}<0, n \geqslant 100000$
再次利用 ①，可以得：如果当 $n\geqslant N+1$ 时 $b_n<0$，则 $b_N<0$，这就推出
$b_{n}<0, n=1,2,3, \cdots$ 即 $a_{n}<\dfrac{1}{n}, n=1,2,3, \cdots$
下证 $b_{n}<0$．因为 $a_n$ 有界，故存在常数 $M$，使得 $b_n<M$．当 $n>100000$ 时，我们有 $\displaystyle b_{n}<\sum\limits_{k=n}^{2 n+2} \dfrac{b_{k}}{k+1}<M \sum_{k=n}^{2 n+2} \dfrac{1}{k+1}=M \sum_{k=n}^{\left[\tfrac{3 n}{2}\right]} \dfrac{1}{k+1}+M \sum_{k=\left[\dfrac{3 n}{2}\right]+1}^{2 n+2006} \dfrac{1}{k+1}<M \cdot \dfrac{1}{2}+M \cdot \frac{\frac{n}{2}+2006}{\tfrac{3 n}{2}+1}<\dfrac{6}{7} M$
由此可以得到，对任意的正整数 $m$ 有 $b_{n}<\left(\dfrac{6}{7}\right)^{m} M$ 于是有 $b_{n} \leqslant 0, n \geqslant 100000$
将其代入 ①，得 $b_{n}<0, n \geqslant 100000$
再次利用 ①，可以得：如果当 $n\geqslant N+1$ 时 $b_n<0$，则 $b_N<0$，这就推出
$b_{n}<0, n=1,2,3, \cdots$ 即 $a_{n}<\dfrac{1}{n}, n=1,2,3, \cdots$
答案
解析
备注
