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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
15427 597ab5bd0a41cd000724718f 高中 解答题 自招竞赛 椭圆 $C$ 的中心为坐标原点 $O$，焦点在 $y$ 轴上，焦点到相应准线的距离以及离心率均为 $\dfrac{\sqrt2}{2}$．直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $P(0,m)$，与椭圆 $C$ 交于相异两点 $A,B$，且 $\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{PB}$． 2022-04-17 19:35:13
15425 597ad2d20a41cd0009ba43d7 高中 解答题 自招竞赛 如图，点 $P$ 是半圆 $C:x^2+y^2=1$（$y\geqslant 0$）上位于 $x$ 轴上方的任意一点，$A$，$B$ 是直径的两个端点，以 $AB$ 为一边作正方形 $ABCD$，$PC$ 交 $AB$ 于 $E$，$PD$ 交 $AB$ 于 $F$，求证：$BE$，$EF$，$FA$ 成等比数列． 2022-04-17 19:34:13
15398 5982960b400acd0007dcc48b 高中 解答题 自招竞赛 设直线 $l:y=kx+m$（其中 $k,m$ 为整数）与椭圆 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$ 交于不同两点 $A,B$，与双曲线 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=1$ 交于不同两点 $C,D$，问是否存在直线 $l$，使得向量 $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=0$，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 2022-04-17 19:19:13
15384 59882b8a5ed01a000ba75c35 高中 解答题 自招竞赛 （12分）已知 $F_{1}(-1,0)$、$F_{2}(1,0)$，圆 $F_{2}:(x-1)^{2}+y^{2}=1$，一动圆在 $y$ 轴右侧与 $y$ 轴相切，同时与圆 $F_{2}$ 相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线 $C$，曲线 $E$ 是以 $F_{1}$、$F_{2}$ 为焦点的椭圆． 2022-04-17 19:10:13
15383 59890d825ed01a000ad799c1 高中 解答题 自招竞赛 设 $k$ 为实数，$0<k<6$．椭圆 $E_{1}:\dfrac{(x-k)^{2}}{9}+y^{2}=1$ 与椭圆 $E_{2}:\dfrac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$ 交于点 $A$ 和 $C$，$E_{1}$ 的左顶点为 $B$，$E_{2}$ 的右顶点为 $D$（如图）．若四边形 $ABCD$ 是正方形，求实数 $k$． 2022-04-17 19:09:13
15380 598914055ed01a000ad799f2 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知抛物线 $C:y^{2}=4x$，过点 $A(1,2)$ 作抛物线 $C$ 的弦 $AP$，$AQ$． 2022-04-17 19:07:13
15369 59897e425a1cff000829c96b 高中 解答题 自招竞赛 已知定点 $A(1,0$）和定直线 $x=-1$ 上的两个动点 $E$、$F$，满足 $\overrightarrow {AE}\perp \overrightarrow {AF}$，动点 $P$
满足 $\overrightarrow{EP}\parallel \overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{FO}\parallel \overrightarrow{OP}$（其中 $O$ 为坐标原点）．		 2022-04-17 19:01:13
15350 598c1ed6de229f0008daf63e 高中 解答题 自招竞赛 设直线 $y = x+\sqrt 2$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 相交于 $M, N$ 两点，且 $OM \perp ON$（其中 $O$ 为原点），若 $MN = \sqrt 6$，求椭圆的方程． 2022-04-17 19:52:12
15349 598d0fa7de229f000b9a0f44 高中 解答题 自招竞赛 设 $A$、$B$、$C$ 为抛物线 $y=x^2$ 上不同的点，$R$ 为 $\triangle ABC$ 外接圆的半径，求 $R$ 的取值范围． 2022-04-17 19:51:12
15296 5a012dd503bdb100096fbe9e 高中 解答题 自招竞赛 从点 $A(\sqrt 2,2)$ 向 $\odot D:x^2+(y-2)^2=1$ 作两条切线 $AB,AC$，其中 $B,C$ 是两条切线与抛物线 $y=x^2$ 的交点，请判定直线 $BC$ 与 $\odot D$ 的位置关系． 2022-04-17 19:23:12
15287 5a2f6cae8755e900075a358e 高中 解答题 自招竞赛 已知双曲线 $C_1$ 的焦点在坐标轴上，中心在原点，其渐近线与圆 $5x^2+5y^2-10x+4=0$ 相切，过点 $P(-4,0)$ 且倾斜角为 $\arcsin\dfrac{\sqrt{17}}{17}$ 的直线交双曲线 $C_1$ 于 $A,B$ 两点（点 $P$ 位于 $A,B$ 两点之间），交 $y$ 轴于点 $Q$，若 $|PA|\cdot|PB|=|PQ|^2$． 2022-04-17 19:19:12
15286 5a3324b1550621000846ab8c 高中 解答题 自招竞赛 已知抛物线 $y^2=2px(p>0)$，$A,B$ 是抛物线上的两个动点，$O$ 是坐标原点，且 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$．点 $M$ 在直线 $AB$ 上，且 $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AB}=0$． 2022-04-17 19:18:12
15274 5a756a71e3419e000a8bebaf 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $M:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,a>b>0$，右焦点 $F$，与直线 $y=\dfrac{3\sqrt7}{7}$ 相交于 $P,Q$ 两点，若椭圆 $M$ 经过点 $(0,\sqrt3)$ 且 $PF\perp QF$． 2022-04-17 19:13:12
15249 5c6a5f04210b281db9f4c7f3 高中 解答题 自招竞赛 $c$ 是 $xy=1$ 的图像，$c$ 关于直线 $y=2x$ 的对称图像是 ${c}'$．已知 ${c}'$ 可以写成 $12{{x}^{2}}+bxy+c{{y}^{2}}+d=0$ 的形式，求 $bc$ 的值． 2022-04-17 19:59:11
15233 5c6f9654210b280151d74a71 高中 解答题 自招竞赛 有一个内接于椭圆 ${{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=4$ 的等边三角形，它的一个顶点坐标是 $\left\{ 0, 1 \right\}$，一条高在 $y$ 轴上，且边长为 $\sqrt{\frac{m}{n}}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 19:51:11
15162 5ca5da71210b28107f52abe1 高中 解答题 自招竞赛 给定一个长轴与短轴不等长的椭圆． 2022-04-17 19:10:11
15147 5cb43a5b210b280220ed1daa 高中 解答题 自招竞赛 如图，$F_{1}$、$F_{2}$ 是双曲线 $x^{2}-\dfrac{y^{2}}{4}=1$ 的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于 $A$、$B$，又设 $O$ 为坐标原点．求证： 2022-04-17 19:01:11
15139 5cb852f4210b28021fc7587a 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设点 $M(x_{0},y_{0})$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 上一点，左右焦点分别是 $F_{1},F_{2}$，从原点 $O$ 向圆 $M$：$(x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2=r^2(0<r<1)$ 作两条切线分别与椭圆 $C$ 交于点 $P,Q$，直线 $OP,OQ$ 的斜率分别记为 $k_{1},k_{2}$． 2022-04-17 19:57:10
15138 5cbd2555210b28021fc75965 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知抛物线 $y=ax^2$ 过点 $P(-1,1)$，过点 $Q(-
\dfrac{1}{2},0)$ 作斜率大于 $0$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $M,N$ 两点（点 $M$ 在 $Q,N$ 之间）．过点 $M$ 作 $x$ 轴的平行线，交 $OP$ 于 $A$，交 $ON$ 于 $B$．$\triangle PMA$ 与 $\triangle OAB$ 的面积分别记为 $S_1,S_2$，比较 $S_1$ 与 $3S_2$ 的大小，说明理由．		 2022-04-17 19:56:10
15134 5cbfc641210b28021fc75a85 高中 解答题 自招竞赛 已知 $F_1,F_2$ 分别为椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左，右焦点，点 $P(\dfrac{2\sqrt{6}}{3},1)$ 在椭圆 $C$ 上，且 $\triangle F_1PF_2$ 的垂心为 $H(\dfrac{2\sqrt{6}}{3},-\dfrac{5}{3})$． 2022-04-17 19:54:10
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