设 $A$、$B$、$C$ 为抛物线 $y=x^2$ 上不同的点，$R$ 为 $\triangle ABC$ 外接圆的半径，求 $R$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
【答案】
$R>\dfrac 1 2$
【解析】
对于任意 $a>0$，取 $A(a,a^2), B(-a,a^2),O(0,0)$，则 $\triangle OAB$ 的外接圆圆心在 $y$ 轴上，设为 $C(0,b)$．由于 $OA$ 的垂直平分线为\[y-\dfrac{a^2}2 = -\dfrac 1 a\left(x-\dfrac a 2\right),\]令 $x=0$ 得 $b=\dfrac 1 2+\dfrac {a^2}2$．由此知，$\triangle OAB$ 的外接圆的半径可取遍区间 $\left(\dfrac 1 2, +\infty\right)$ 上所有值．
现设 $A$、$B$、$C$ 为抛物线 $y=x^2$ 上不同的点，$R$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆的半径，$(a,b)$ 为圆心，于是知方程\[(x-a)^2+(x^2-b)^2-R^2=0\qquad \qquad \text{ ① }\]有三个不同的实根，因此必有四个实根，设其为 $x_1$、$x_2$、$x_3$、$x_4$．由于方程\text{ ① }为\[x^4+(1-2b)x^2-2ax+a^2+b^2-R^2=0,\]故\[x_1+x_2+x_3+x_4=0.\]从而有\[x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+2\sum\limits_{i \ne j}x_i x_j=0,\]又因为 $\displaystyle \sum\limits_{i \ne j}x_i x_j=1-2b<0$，故 $b>\dfrac 1 2$．
由于\[\begin{split}2(2b-1)&=-2\sum\limits_{i \ne j}x_i x_j=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2\\&\geqslant 4\sqrt[4]{x_1^2 \cdot x_2^2 \cdot x_3^2 \cdot x_4^2}\\&=4\sqrt{|x_1x_2x_3x_4|}\\&=4\sqrt{|a^2+b^2-R^2|},\end{split}\]从而有\[4b^2-4b+1\geqslant 4(a^2+b^2-R^2),\]故\[R^2-a^2+\dfrac 1 4 \geqslant b>\dfrac 1 2.\]因此，$R^2>a^2+\dfrac 1 4, R>\dfrac 1 2$．
现设 $A$、$B$、$C$ 为抛物线 $y=x^2$ 上不同的点，$R$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆的半径，$(a,b)$ 为圆心，于是知方程\[(x-a)^2+(x^2-b)^2-R^2=0\qquad \qquad \text{ ① }\]有三个不同的实根，因此必有四个实根，设其为 $x_1$、$x_2$、$x_3$、$x_4$．由于方程\text{ ① }为\[x^4+(1-2b)x^2-2ax+a^2+b^2-R^2=0,\]故\[x_1+x_2+x_3+x_4=0.\]从而有\[x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+2\sum\limits_{i \ne j}x_i x_j=0,\]又因为 $\displaystyle \sum\limits_{i \ne j}x_i x_j=1-2b<0$，故 $b>\dfrac 1 2$．
由于\[\begin{split}2(2b-1)&=-2\sum\limits_{i \ne j}x_i x_j=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2\\&\geqslant 4\sqrt[4]{x_1^2 \cdot x_2^2 \cdot x_3^2 \cdot x_4^2}\\&=4\sqrt{|x_1x_2x_3x_4|}\\&=4\sqrt{|a^2+b^2-R^2|},\end{split}\]从而有\[4b^2-4b+1\geqslant 4(a^2+b^2-R^2),\]故\[R^2-a^2+\dfrac 1 4 \geqslant b>\dfrac 1 2.\]因此，$R^2>a^2+\dfrac 1 4, R>\dfrac 1 2$．
答案
解析
备注
