如图，点 $P$ 是半圆 $C:x^2+y^2=1$（$y\geqslant 0$）上位于 $x$ 轴上方的任意一点，$A$，$B$ 是直径的两个端点，以 $AB$ 为一边作正方形 $ABCD$，$PC$ 交 $AB$ 于 $E$，$PD$ 交 $AB$ 于 $F$，求证：$BE$，$EF$，$FA$ 成等比数列．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛江苏省复赛（一试）
【标注】
【答案】
略
【解析】
由条件知 $C(-1,-2)$，$D(1,-2)$．
设 $P(\cos \alpha,\sin \alpha)$，$E(x_1,0)$，$F(x_2,0)$．
因为 $P$，$E$，$C$ 三点共线，所以$$\dfrac {\sin \alpha+2}{\cos \alpha +1}=\dfrac {2}{x_1+1},$$故$$x_1=\dfrac {2(\cos \alpha+1)}{\sin \alpha+2}-1.$$因为 $P$，$F$，$D$ 三点共线，所以$$\dfrac {\sin \alpha+2}{\cos \alpha -1}=\dfrac {2}{x_2-1},$$故$$x_2=\dfrac {2(\cos \alpha-1)}{\sin \alpha+2}+1.$$又因为\[\begin{split}BE&=x_1+1=\dfrac {2(\cos \alpha+1)}{\sin \alpha+2},\\ EF&=x_2-x_1=\dfrac {2 \sin \alpha }{\sin \alpha+2},\\ FA&=\dfrac {2(\cos \alpha-1)}{\sin \alpha+2},\end{split}\]所以\[\begin{split}BE\cdot FA&= \dfrac {2(\cos \alpha+1)}{\sin \alpha+2} \cdot \dfrac {2(\cos \alpha-1)}{\sin \alpha+2}\\&=\dfrac {4\sin^2\alpha}{(\sin \alpha+2)^2}=EF^2,\end{split}\]即 $BE$，$EF$，$FA$ 成等比数列．
设 $P(\cos \alpha,\sin \alpha)$，$E(x_1,0)$，$F(x_2,0)$．
因为 $P$，$E$，$C$ 三点共线，所以$$\dfrac {\sin \alpha+2}{\cos \alpha +1}=\dfrac {2}{x_1+1},$$故$$x_1=\dfrac {2(\cos \alpha+1)}{\sin \alpha+2}-1.$$因为 $P$，$F$，$D$ 三点共线，所以$$\dfrac {\sin \alpha+2}{\cos \alpha -1}=\dfrac {2}{x_2-1},$$故$$x_2=\dfrac {2(\cos \alpha-1)}{\sin \alpha+2}+1.$$又因为\[\begin{split}BE&=x_1+1=\dfrac {2(\cos \alpha+1)}{\sin \alpha+2},\\ EF&=x_2-x_1=\dfrac {2 \sin \alpha }{\sin \alpha+2},\\ FA&=\dfrac {2(\cos \alpha-1)}{\sin \alpha+2},\end{split}\]所以\[\begin{split}BE\cdot FA&= \dfrac {2(\cos \alpha+1)}{\sin \alpha+2} \cdot \dfrac {2(\cos \alpha-1)}{\sin \alpha+2}\\&=\dfrac {4\sin^2\alpha}{(\sin \alpha+2)^2}=EF^2,\end{split}\]即 $BE$，$EF$，$FA$ 成等比数列．
答案
解析
备注
