题目 已知双曲线 $C_1$ 的焦点在坐标轴上，中心在原点，其渐近线与圆 $5x^2+5y^2-10x+4=0$ 相切，过点 $P(-4,0)$ 且倾斜角为 $\arcsin\dfrac{\sqrt{17}}{17}$ 的直线交双曲线 $C_1$ 于 $A,B$ 两点（点 $P$ 位于 $A,B$ 两点之间），交 $y$ 轴于点 $Q$，若 $|PA|\cdot|PB|=|PQ|^2$． 问题1 求双曲线 $C_1$ 的方程； 答案1 $\dfrac{x^2}{28}-\dfrac{y^2}{7}=1$ 解析1 圆的方程即$$(x-1)^2+y^2=\dfrac15,$$所以圆心坐标为 $(1,0)$，半径 $r=\dfrac1{\sqrt5}$，设双曲线的渐近线方程为 $y=kx$，则$$\dfrac{|k|}{\sqrt{1+k^2}}=\dfrac1{\sqrt5},$$解得 $k=\pm\dfrac12$，故渐近线方程为$$x\pm 2y=0.$$设双曲线 $C_1$ 的方程为$$x^2-4y^2=\lambda,$$因为$$\tan\left(\arcsin\dfrac{\sqrt{17}}{17}\right)=\dfrac14,$$所以直线 $AB$ 的方程为$$y=\dfrac14(x+4),$$联立直线方程与曲线 $C_1$ 的方程消去 $x$ 并整理可得$$12y^2-32y+16-\lambda=0,$$设 $A(4y_1-4,,y_1),B(4y_2-4,4)$，易知 $Q(0,1)$，所以$$\begin{split} &|PA|=\sqrt{17y_1^2}=\sqrt{17}|y_1|,\\<br/>&|PB|=\sqrt{17y_2^2}=\sqrt{17}|y_2|, \\<br/>&|PQ|^2=17,\end{split}$$又因为$$|PA|\cdot|PB|=|PQ|^2,$$所以 $|y_1\cdot y_2|=1$，又 $P$ 在线段 $AB$ 上，即 $y_1\cdot y_2<0$，所以$$y_1y_2=-1.$$又$$y_1y_2=\dfrac{16-\lambda}{12},$$所以 $\lambda=28$，因此双曲线 $C_1$ 的方程为$$\dfrac{x^2}{28}-\dfrac{y^2}{7}=1.$$ 备注1 问题2 以原点为中心，双曲线 $C_1$ 的顶点为顶点的椭圆 $C_2$ 中，平行于双曲线一条渐近线的线的中点的轨迹恰是另一条渐近线截在椭圆内的部分．求双曲线 $C_1$ 和椭圆 $C_2$ 的离心率． 答案2 $e_1=\dfrac{\sqrt5}2$，$e_2=\dfrac{\sqrt3}{2}$ 解析2 设椭圆 $C_2$ 的方程为$$\dfrac{x^2}{28}+\dfrac{y^2}{p^2}=1,$$由$$\begin{cases} y=\pm\dfrac12x+m,\\<br/>\dfrac{x^2}{28}+\dfrac{y^2}{p^2}=1,\end{cases}$$联立消去 $y$ 可得$$(p^2+7)x^2\pm28mx+28m^2-28p^2=0.$$设弦的中点为 $M(x,y)$，则$$(x,y)=\left(\dfrac{14m}{p^2+7},-\dfrac x2+m\right)$$或$$(x,y)=\left(-\dfrac{14m}{p^2+7},\dfrac x2+m\right)$$依题意得$$\dfrac yx=\pm\dfrac{p^2}{14}=\pm\dfrac12,$$所以 $p^2=7$，因此椭圆 $C_2$ 的方程为$$\dfrac{x^2}{28}+\dfrac{y^2}{7}=1,$$因此曲线 $C_1,C_2$ 的离心率分别为 $e_1=\dfrac{\sqrt5}2$，$e_2=\dfrac{\sqrt3}{2}$． 备注2