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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
18220 5c877470210b28428f14d776 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b$ 是正整数，当 ${a}^{2}+{b}^{2}$ 被 $a+b$ 除时，商为 $q$，余数为 $r$．求所有的数对 $(a,b)$，使 ${q}^{2}+r=1977$．（民主德国） 2022-04-17 19:26:39
18215 5c8776f2210b28428f14d792 高中 解答题 自招竞赛 若干个正整数的和为 $1976$，求这些正整数的乘积的最大值．（美国） 2022-04-17 19:23:39
18205 5d9d7253210b282710a2604f 高中 解答题 自招竞赛 求同时满足下列两个条件的多项式 $f(x)=ax^3 +bx$ 的个数：
（1）$a,b\in\{1,2,\ldots,2013\}$；
（2）$f(1),f(2),\ldots,f(2013)$ 中任意两数之差不是 $2013$ 的倍数．		 2022-04-17 19:17:39
18199 5c877fcb210b28428f14d7a4 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,\cdots$ 是任意一个具有性质 $a_k<a_{k+1}(k\geqslant 1)$ 的正整数的无穷数列．求证：可以把这个数列的无穷多个 ${a}_{m}$ 用适当的正整数 $x,y$ 表示为 ${a}_{m}=x{a}_{p}+y{a}_{q}( p\ne q)$．（英国） 2022-04-17 19:13:39
18197 5c877fd5210b284290fc2d10 高中 解答题 自招竞赛 设 $A$ 是十进制数 ${4444}^{4444}$ 的各位数字之和，而 $B$ 是 $A$ 的各位数字之和，求 $B$ 的各位数字之和（这里所有的数都是十进制数）．（苏联） 2022-04-17 19:12:39
18166 5c8864b7210b28319abba59b 高中 解答题 自招竞赛 求证：对于任何正整数 $n$，和数 $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}{{2}^{3k}}C_{2n+1}^{2k+1}$ 不能被 $5$ 整除．（罗马尼亚） 2022-04-17 19:56:38
18152 5c886b2e210b28319b6ddc84 高中 解答题 自招竞赛 集合 $M$ 是由 $10$ 个互不相同的十进制的两位正整数组成，求证：这个集合必有两个无公共元素的子集，两子集中各数之和相等．（苏联） 2022-04-17 19:48:38
18151 5c886b3a210b28319b6ddc8b 高中 解答题 自招竞赛 已知 $m、n$ 是任意非负整数．求证：$\dfrac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!}$ 是整数（规定 $0!=1$）．（英国） 2022-04-17 19:47:38
18137 5c886d38210b28319b6ddca1 高中 解答题 自招竞赛 求证：对于数列 ${2}^{n}-3,n=2,3,4,\cdots$，至少有一个无穷子列存在，其中的项两两互素．（波兰） 2022-04-17 19:42:38
18124 5c8874df210b28319b6ddcb6 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,n$ 都是正整数，并且 $a>1,b>1,n>1$．又 ${A}_{n-1}$ 和 ${A}_{n}$ 是 $a$ 进制数，${B}_{n-1}$ 和 ${B}_{n}$ 是 $b$ 进制数，并且 ${A}_{n-1},{A}_{n},{B}_{n-1}$ 和 ${B}_{n}$ 可表示为如下形式：
$\begin{aligned}
& {{A}_{n}}=\overline{{{x}_{n}}{{x}_{n-1}}...{{x}_{0}}},{{A}_{n-1}}=\overline{{{x}_{n-1}}{{x}_{n-2}}...{{x}_{0}}}(a进制写出), \\
& {{B}_{n}}=\overline{{{x}_{n}}{{x}_{n-1}}...{{x}_{0}}},{{B}_{n-1}}=\overline{{{x}_{n-1}}{{x}_{n-2}}...{{x}_{0}}}(b进制写出), \\
\end{aligned}$
此处 $ {{x}_{n}}\ne 0,{{x}_{n-1}}\ne 0 $．求证：当且仅当 $a>b$ 时，$\dfrac{{{A}_{n-1}}}{{{A}_{n}}}<\dfrac{{{B}_{n-1}}}{{{B}_{n}}}$．（罗马尼亚）		 2022-04-17 19:34:38
18122 5c887534210b28319b6ddcbc 高中 解答题 自招竞赛 找出具有下列性质的一切正整数 $n$：使集合 $\{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5\}$ 可以分成两个不相交的非空子集，并且一个子集中所有元素的积与另一个子集中所有元素的积相等．（捷克斯洛伐克） 2022-04-17 19:33:38
18119 5c887849210b28319b6ddccf 高中 解答题 自招竞赛 求证：存在无穷个正整数 $a$ 具有下列性质：使得对一切正整数 $n$，数字 $z={n}^{4}+a$ 不是素数．（民主德国） 2022-04-17 19:31:38
18112 5c887b86210b28319abba641 高中 解答题 自招竞赛 设 $p(x)$ 是十进制整数 $x$ 的所有数码的乘积．试求使 $p(x)={x}^{2}-10x-22$ 成立的一切正整数 $x$．（捷克斯洛伐克） 2022-04-17 19:27:38
18108 5c887ba2210b28319b6ddced 高中 解答题 自招竞赛 设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数．对任意正整数 $n$，计算和 $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{\infty }{\left[ \frac{n+{{2}^{k}}}{{{2}^{k+1}}} \right]}$．（英国） 2022-04-17 19:25:38
18104 5c888e55210b286d125ef16b 高中 解答题 自招竞赛 已知 $k,m,n$ 是正整数，$m+k+1$ 是大于 $n+1$ 的素数．记 ${C}_{s}=s(s+1)$．求证：$({{C}_{m+1}}-{{C}_{k}})({{C}_{m+2}}-{{C}_{k}})\cdots({{C}_{m+n}}-{{C}_{k}})$ 能被乘积 ${C}_{1}{C}_{2}\cdots{C}_{n}$ 整除．（英国） 2022-04-17 19:23:38
18103 5c888e63210b286d125ef175 高中 解答题 自招竞赛 考虑数列 $\{{c}_{n}\}$：
$\begin{matrix}
{{c}_{1}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{8}} \\
{{c}_{2}}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{8}^{2} \\
\cdots\cdots \\
{{c}_{n}}=a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+...+a_{8}^{n} \\
\cdots\cdots \\
\end{matrix}$
其中 ${a}_{1},{a}_{2},\cdots,{a}_{8}$ 是实数，并且不全为零．已知数列 $\{{c}_{n}\}$ 中有无限多项等于零．求出使 ${c}_{n}=0$ 的全部正整数 $n$．（苏联）		 2022-04-17 19:23:38
18102 5c888e68210b286d125ef17a 高中 解答题 自招竞赛 运动会连续开了 $n$ 天，一共发了 $m$ 枚奖章．第一天发 $1$ 枚以及剩下 $(m-1)$ 枚的 $\dfrac{1}{7}$．第二天发 $2$ 枚以及发后剩下的 $\dfrac{1}{7}$，以后各天均按此规律发奖章．在最后一天即第 $n$ 天发了剩下的 $n$ 枚奖章．问运动会开了几天？一共发了多少枚奖章？（匈牙利） 2022-04-17 19:22:38
18082 5c889c53210b286d0745404f 高中 解答题 自招竞赛 （1）确定所有的正整数 $n$，使得 $2^n-1$ 能被 $7$ 整除；
（2）求证：对于所有的正整数 $n$，$2^n+1$ 不能被 $7$ 整除．（捷克斯洛伐克）		 2022-04-17 19:12:38
18069 5c88a362210b286d07454080 高中 解答题 自招竞赛 求具有下列各性质的最小正整数 $n$：
（1）$n$ 的个位数是 $6$；
（2）如果将 $n$ 的个位数字 $6$ 移到其余各位数字之前，所得的新数是 $n$ 的 $4$ 倍．（波兰）		 2022-04-17 19:03:38
18054 5c88ad98210b286d074540b4 高中 解答题 自招竞赛 求所有能被 $11$ 整除的三位数，使所得的商等于该三位数的各位数字的平方和．（保加利亚） 2022-04-17 19:55:37
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