若干个正整数的和为 $1976$，求这些正整数的乘积的最大值．（美国）
【难度】
【出处】
1976年第18届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为 $1976$ 表示成正整数之和的表示式只有有限个，所以对应的乘积也只有有限个，因而其中必有最大者．设正整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 满足条件：$a_1+a_2+\cdots+a_n=1976$，
并且乘积 $p=a_1a_2\cdots a_n$ 最大．这时，$a_i(i=1,2,\cdots,n)$ 必有下列性质：
（1）$a_i\leqslant 4(i=1,2,\cdots,n)$．若不然，设某个 $a_i>4$，将 $a_i$ 拆成 $a_i-2$ 与 $2$ 之和，其余的不变，由于 $2(a_i-2)=a_i+(a_i-4)>a_i$，这与 $p$ 的最大性矛盾．
（2）$a_i\ne 1(i=1,2,\cdots,n)$ 中有等于 $4$，则可用 $2+2$ 代替，而不改变乘积的 $p$ 的值．
由上面的（1）~（3）知，最大乘积 $p$，应具有 $p=2^r\cdot 3^s$ 的形式．并且 $r<3$，因为若 $r\geqslant 3$，则由 $2+2+2=3+3$，而 $2^3<3^2$，即把 $3$ 个 $2$ 换成 $2$ 个 $3$ 时，乘积变大．故 $r<3$．
由 $1976=3\times 658+2$ 可知，最大积为 $2\cdot 3^658$．
并且乘积 $p=a_1a_2\cdots a_n$ 最大．这时，$a_i(i=1,2,\cdots,n)$ 必有下列性质：
（1）$a_i\leqslant 4(i=1,2,\cdots,n)$．若不然，设某个 $a_i>4$，将 $a_i$ 拆成 $a_i-2$ 与 $2$ 之和，其余的不变，由于 $2(a_i-2)=a_i+(a_i-4)>a_i$，这与 $p$ 的最大性矛盾．
（2）$a_i\ne 1(i=1,2,\cdots,n)$ 中有等于 $4$，则可用 $2+2$ 代替，而不改变乘积的 $p$ 的值．
由上面的（1）~（3）知，最大乘积 $p$，应具有 $p=2^r\cdot 3^s$ 的形式．并且 $r<3$，因为若 $r\geqslant 3$，则由 $2+2+2=3+3$，而 $2^3<3^2$，即把 $3$ 个 $2$ 换成 $2$ 个 $3$ 时，乘积变大．故 $r<3$．
由 $1976=3\times 658+2$ 可知，最大积为 $2\cdot 3^658$．
答案
解析
备注
