（1）确定所有的正整数 $n$，使得 $2^n-1$ 能被 $7$ 整除；
（2）求证：对于所有的正整数 $n$，$2^n+1$ 不能被 $7$ 整除．（捷克斯洛伐克）
（2）求证：对于所有的正整数 $n$，$2^n+1$ 不能被 $7$ 整除．（捷克斯洛伐克）
【难度】
【出处】
1964年第06届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）当 $n=3k$ 时，有 $2^n-1=8^k-1\equiv 1^k-1=0\pmod{7}$；
当 $n=3k+1$ 时，有 $2^n-1=2\cdot 8^k-1\equiv 2-1=1\pmod{7}$；
当 $n=3k+2$ 时，有 $2^n-1=4\cdot 8^k-1\equiv 4-1=3\pmod{7}$．
综上，当且仅当 $3|n$ 时，$7|2^n-1$．
（1）当 $n=3k$ 时，$2^n+1\equiv 8^k+1\equiv 1^k+1=2\pmod{7}$；
当 $n=3k+1$ 时，有 $2^n+1\equiv 2\cdot 8^k+1\equiv 2+1=3\pmod{7}$；
当 $n=3k+2$ 时，有 $2^n+1\equiv 4\cdot 8^k+1\equiv 4+1=5\pmod{7}$．
所以，$7\nmid 2^n+1$．
当 $n=3k+1$ 时，有 $2^n-1=2\cdot 8^k-1\equiv 2-1=1\pmod{7}$；
当 $n=3k+2$ 时，有 $2^n-1=4\cdot 8^k-1\equiv 4-1=3\pmod{7}$．
综上，当且仅当 $3|n$ 时，$7|2^n-1$．
（1）当 $n=3k$ 时，$2^n+1\equiv 8^k+1\equiv 1^k+1=2\pmod{7}$；
当 $n=3k+1$ 时，有 $2^n+1\equiv 2\cdot 8^k+1\equiv 2+1=3\pmod{7}$；
当 $n=3k+2$ 时，有 $2^n+1\equiv 4\cdot 8^k+1\equiv 4+1=5\pmod{7}$．
所以，$7\nmid 2^n+1$．
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