求所有能被 $11$ 整除的三位数，使所得的商等于该三位数的各位数字的平方和．（保加利亚）
【难度】
【出处】
1960年第02届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设这三个数除以 $11$ 以后所得的商是 $\overline{ab}$，若 $a+b\geqslant 10$，则原数为 $100(a+1)+10(a+b-10)+b$；
若 $a+b<10$，则原数为 $100a+10(a+b)+b$．
于是分如下两种情形：
（1）若 $a+b\geqslant 10$，则由题设知 $(a+1)^2+(a+b-10)^2+b^2=10a+b$．
当 $a+b>10$ 时，有
$\begin{aligned}
&(a+1)^2+(a+b-10)^2+b^2\\
&\geqslant(a+1)^2+1+(11-a)^2\\
&=2\left(a-\dfrac{15}{2}\right)^2+10a+\dfrac{21}{2}\\
&>10a+b
\end{aligned}$
与 ① 矛盾，所以只能有 $a+b=10$，将 $b=10-a$ 代入 ①，得 $2a^2-27a+91=0$．
解得 $a=7$，从而 $b=3$．
（2）若 $a+b< 10$，则由题设知 $a^2+(a+b)^2+b^2=10a+b$．
当 $a+b>5$ 时，有
$\begin{aligned}
&a^2+(a+b)^2+b^2\\
&=2(a+b)a+2b^2\\
&>10a+b
\end{aligned}$
与 ② 矛盾，所以 $a+b\leqslant 5$，又 ② 式的左边为偶数，$10a$ 也是偶数，所以 $b$ 是偶数，$b$ 只能为 $0,2,4$．
当 $b=0$ 时，$a=5$；当 $b=2$ 时，$a$ 不是整数；当 $b=4$ 时，$a$ 也不是整数．
综上所述，$\overline{ab}=73$ 或 $50$，原来的三位数为 $803,550$．
若 $a+b<10$，则原数为 $100a+10(a+b)+b$．
于是分如下两种情形：
（1）若 $a+b\geqslant 10$，则由题设知 $(a+1)^2+(a+b-10)^2+b^2=10a+b$．
当 $a+b>10$ 时，有
$\begin{aligned}
&(a+1)^2+(a+b-10)^2+b^2\\
&\geqslant(a+1)^2+1+(11-a)^2\\
&=2\left(a-\dfrac{15}{2}\right)^2+10a+\dfrac{21}{2}\\
&>10a+b
\end{aligned}$
与 ① 矛盾，所以只能有 $a+b=10$，将 $b=10-a$ 代入 ①，得 $2a^2-27a+91=0$．
解得 $a=7$，从而 $b=3$．
（2）若 $a+b< 10$，则由题设知 $a^2+(a+b)^2+b^2=10a+b$．
当 $a+b>5$ 时，有
$\begin{aligned}
&a^2+(a+b)^2+b^2\\
&=2(a+b)a+2b^2\\
&>10a+b
\end{aligned}$
与 ② 矛盾，所以 $a+b\leqslant 5$，又 ② 式的左边为偶数，$10a$ 也是偶数，所以 $b$ 是偶数，$b$ 只能为 $0,2,4$．
当 $b=0$ 时，$a=5$；当 $b=2$ 时，$a$ 不是整数；当 $b=4$ 时，$a$ 也不是整数．
综上所述，$\overline{ab}=73$ 或 $50$，原来的三位数为 $803,550$．
答案
解析
备注
