求具有下列各性质的最小正整数 $n$：
（1）$n$ 的个位数是 $6$；
（2）如果将 $n$ 的个位数字 $6$ 移到其余各位数字之前，所得的新数是 $n$ 的 $4$ 倍．（波兰）
（1）$n$ 的个位数是 $6$；
（2）如果将 $n$ 的个位数字 $6$ 移到其余各位数字之前，所得的新数是 $n$ 的 $4$ 倍．（波兰）
【难度】
【出处】
1962年第04届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
证法一
设 $n=10a+6$，其中 $a$ 为 $m$ 位数．于是 $6\times 10^m+a=4(10a+6)$．
$a=\dfrac{2(10^m-4)}{13}$．
因为 $a$ 是正整数，$(2,13)=1$，故 $13|10^m-4$．$m$ 至少是 $5$，此时 $n=153846$．
所以 $n$ 的最小值为 $153846$．
证法二
设 $n=\overline{a_ka_{k-1}\cdots a_26}$，则依题意有 $m=\overline{6a_ka_{k-1}\cdots a_2}=4n$．
因为 $n$ 的最末一位数字是 $6$，所以 $a_2=4$．将 $a_2=4$ 代入 $n$ 并乘以 $4$，可求得 $a_3=8$，如此继续下去，直至 $m=4n$ 第一次出现某一位上的数字是 $6$ 为止，求得 $a_5=5,a_6=1$．
所以，$n$ 的最小值为 $153846$．
设 $n=10a+6$，其中 $a$ 为 $m$ 位数．于是 $6\times 10^m+a=4(10a+6)$．
$a=\dfrac{2(10^m-4)}{13}$．
因为 $a$ 是正整数，$(2,13)=1$，故 $13|10^m-4$．$m$ 至少是 $5$，此时 $n=153846$．
所以 $n$ 的最小值为 $153846$．
证法二
设 $n=\overline{a_ka_{k-1}\cdots a_26}$，则依题意有 $m=\overline{6a_ka_{k-1}\cdots a_2}=4n$．
因为 $n$ 的最末一位数字是 $6$，所以 $a_2=4$．将 $a_2=4$ 代入 $n$ 并乘以 $4$，可求得 $a_3=8$，如此继续下去，直至 $m=4n$ 第一次出现某一位上的数字是 $6$ 为止，求得 $a_5=5,a_6=1$．
所以，$n$ 的最小值为 $153846$．
答案
解析
备注
