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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19534 5d2be8dd210b28021fc785dc 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是一个正整数，使得存在正整数 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 满足 $x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)=100 n$，求 $n $ 的最大可能值． 2022-04-17 19:27:51
19530 5d2c3595210b280220ed603d 高中 解答题 自招竞赛 设正整数 $n=2^\alpha\cdot q$，其中 $\alpha$ 为非负整数，$q$ 为奇数．证明：对任意正整数 $m$，方程 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=m$ 的整数解 $\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的个数能被 $2^{\alpha+1}$ 整除． 2022-04-17 19:24:51
19505 5d2d4353210b280220ed6136 高中 解答题 自招竞赛 证明：存在无穷多个正整数组 $(a, b, c)$，满足 $a、b、c$ 两两互质，且 $ab+c,bc+a,ca+b$ 两两互质． 2022-04-17 19:11:51
19502 5d2d66ea210b280220ed616a 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $m,n$，$2\leqslant m<n$，$(m,n)=1$．
求最小的整数 $k$，满足：对集合 $\{1,2,\ldots,n\}$ 的任意 $m$ 元子集 $I$，若 $\displaystyle \sum\limits_{i\in I}i>k$，则存在 $n$ 个数 $a_1 \leqslant a_2 \leqslant \ldots \leqslant a_n$，使得 $\displaystyle \dfrac{1}{m} \sum\limits_{i \in I} a_{i}>\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_{i}$		 2022-04-17 19:09:51
19489 5d2e951d210b280220ed627f 高中 解答题 自招竞赛 设 $k$ 为正整数，$n=(2^k )!$．证明：$\sigma (n)$ 至少有一个大于 $2^k$ 的质因子．其中 $\sigma (n)$ 为 $n$ 的所有正约数之和． 2022-04-17 19:02:51
19482 5d2eb66e210b280220ed62d6 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $m$，证明：存在正整数 $n_0$，使得对所有正整数 $n>n_0$，$\sqrt{n^2 +817n+m}$ 的十进制表示的小数点后第一位数字都相同． 2022-04-17 19:58:50
19479 5d2ecc7b210b28021fc7882d 高中 解答题 自招竞赛 给定实数 $q$，满足 $1<q<2$，定义数列 $\{x_n \}$ 如下：
设正整数 $n$ 的二进制表示为 $
n=a_{0}+a_{1} \cdot 2+a_{2} \cdot 2^{2}+\cdots+a_{k} \cdot 2^{k}, a_{i} \in\{0,1\}, i=0,1,\ldots,k
$
令 $x_n =a_0 + a_1 \cdot q+ a_2 \cdot q^2 + \ldots + a_k \cdot q^k$．
证明：对任意正整数 $n$，存在正整数 $m$ 使得 $x_n < x_m \leqslant x_{n+1}$．		 2022-04-17 19:56:50
19475 5d2ed81d210b280220ed6329 高中 解答题 自招竞赛 是否存在整数 $a, b, c$，使得 $a^2 bc+2, ab^2 c+2 , abc^2 +2$ 都是完全平方数？ 2022-04-17 19:54:50
19468 5d2f0135210b280220ed63b9 高中 解答题 自招竞赛 求所有的正整数 $a$，使得对任意正整数 $n\geqslant 5$，有 $
\left(2^{n}-n^{2}\right) |\left(a^{n}-n^{a}\right)
$		 2022-04-17 19:51:50
19465 5d304f94210b280220ed64a8 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_n \}$ 满足 $a_{0}=\dfrac{1}{2}$，$a_{n+1}=a_{n}+\dfrac{a_{n}^{2}}{2012}$，$n=0,1,\ldots$，求整数 $k$，使得 $a_{k}<1<a_{k+1}$． 2022-04-17 19:50:50
19460 5d305387210b28021fc78926 高中 解答题 自招竞赛 求所有的质数 $p$，使得存在无穷多个正整数 $n$，满足 $p|n^{n+1}+(n+1)^{n}$． 2022-04-17 19:47:50
19458 5d2fecca210b280220ed63e9 高中 解答题 自招竞赛 求最小的正整数 $m$，使得对任意大于 $3$ 的质数 $p$，都有 $105|9^{p^{2}}-29^{p}+m$ 2022-04-17 19:46:50
19453 5d31554d210b280220ed6523 高中 解答题 自招竞赛 是否存在奇数 $n\geqslant 3$ 及 $n$ 个互不相同的质数 $p_1,p_2,\cdots,p_n$，使得 $p_{i}+p_{i+1}$（$i=1,2,\cdots,n$，其中 $p_{n+1}=p_1$）都 是完全平方数？请证明你的结论． 2022-04-17 19:45:50
19450 5d3165a9210b28021fc7898a 高中 解答题 自招竞赛 求所有的整数对 $(a,b)$，使得对任意正整数 $n$，都有 $n| (a^n十b^{n+1})$． 2022-04-17 19:44:50
19445 5d3519de210b280220ed6583 高中 解答题 自招竞赛 设 $m、k$ 为给定的非负整数，$p= 2^{2^m} + 1$ 为素数，求证：
（1）$2^{2^{m+1} p^{2}} \equiv 1\left(\bmod p^{k+1}\right)$；
（2）满足同余方程 $2^{n} \equiv 1\left(\bmod p^{k+1}\right)$ 的最小正整数 $n$ 为 $2^{m+1} p^{k}$．		 2022-04-17 19:40:50
19441 5d35268b210b28021fc789d4 高中 解答题 自招竞赛 设 $k$ 为大于 $1$ 的整数，数列 $\{a_n\}$ 定义如下：$a_{0}=0, a_{1}=1, a_{n+1}=k a_{n}+a_{n-1}, n=1,2, \cdots$．求所有满足如下条件的 $k$：存在非负整数 $l、m(l\ne m)$，及正整数 $p、q$，使得 $a_{l}+k a_{p}=a_{m}+ka_q$． 2022-04-17 19:38:50
19426 5d3569f8210b280220ed6666 高中 解答题 自招竞赛 求证：对任意给定的正整数 $k$，总存在无穷多个正整数 $n$，使得 $2^{n}+3^{n}-1,2^{n}+3^{n}-2, \cdots, 2^{n}+3^{n}-k$ 均为合数． 2022-04-17 19:29:50
19425 5d35996f210b280220ed66a1 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $x_{1} \in\{5,7\}$ 及当 $k \geqslant 1$ 时 $x_{k+1} \in\left\{5^{x_{k}},7^{x_k}\right\}$．试确定 $x_{2009}$ 的末两位数字的所有可能值． 2022-04-17 19:29:50
19419 5d367b2b210b28021fc78aa6 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $m \geqslant 2, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}$ 都是正整数．证明：存在无
穷多个正整数 $n$，使得数 $a_{1} \cdot 1^{n}+a_{2} \cdot 2^{n}+\cdots+a_{m} \cdot m^{n}$ 都是合数．		 2022-04-17 19:26:50
19402 5d36d8a1210b28021fc78b27 高中 解答题 自招竞赛 设正整数 $a$ 不是完全平方数，求证：对每一个正整数 $n$，$S_{n}=\{\sqrt{a}\}+\{\sqrt{a}\}^{2}+\cdots+\{\sqrt{a}\}^{n}$ 的值都是无理数这里 $\{x\}=x-[x]$，其中 $[x]$ 式表示不超过 $x$ 的最大整数． 2022-04-17 19:16:50
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