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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19807 5d0376e7210b28021fc77288 高中 解答题 自招竞赛 求所有大于 $ 3$ 的自然数 $n$，使得 $1+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+C_{n}^{3}$ 整除 $2^{2000}$． 2022-04-17 19:53:53
19804 5d0338a6210b28021fc77245 高中 解答题 自招竞赛 设 $S=\{1,2, \cdots, 98\}$．求最小自然数 $n$，使得 $S$ 的任一 $n$ 元子集中都可以选出 $10$ 个数，无论怎样将这 $10$ 个数均分成两组，总有一组中存在一个数与另外 $4$ 个数都互质，而另一组中总有一个数与另外 $4$ 个数都不互质． 2022-04-17 19:52:53
19787 5d0b15f0210b28021fc774b3 高中 解答题 自招竞赛 设 $a, b, c, a+b-c, a+c-b, b+c-a, a+b+c$ 是 $7$ 个两两 不同的质数，$a,b,c$ 中有两数之和是 $800$．设 $d$ 是这 $7$ 个质数中最大数与最小数之差．求 $ d$ 的最大可能值． 2022-04-17 19:43:53
19776 5d0c7ffe210b28021fc775d5 高中 解答题 自招竞赛 给定 $c \in (\dfrac{1}{2},1)$．求最小常数 $M$，使对任意整数 $n\geqslant 2$ 及实数 $0<a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \cdots \leqslant a_{n}$，只要满足 $\displaystyle \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} k a_{k}=c \sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ① 总有 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n} a_{k} \leqslant M \sum_{k=1}^{n} a_{k}$ 其中 $m = [cn]$ 表示不超过 $cn$ 的最大整数． 2022-04-17 19:36:53
19773 5d0c90b8210b28021fc7760a 高中 解答题 自招竞赛 求出同时满足如下条件的集合 $S$ 的元素个数的最大值：
（1）$S$ 中的每个元素都是不超过 $100$ 的正整数；
（2）对于 $S$ 中任意两个不同的元素 $a,b$，都存在 $S$ 中的元素 $c$，使得 $a$ 与 $ c $ 的最大公约数等于 $ 1 $，并且 $ b $ 与 $ c $ 的最大公约数也等于 $ 1 $；
（3）对于 $ S $ 中任意两个不同的元素 $ a,b $，都存在 $ S $ 中异于 $ a,b $ 的元素 $ d $，使得 $ a $ 与 $ d $ 的最大公约数大于 $ 1 $，并且 $ b $ 与 $ d $ 的 最大公约数也大于 $ 1$．		 2022-04-17 19:35:53
19765 5d1184be210b280220ed4c64 高中 解答题 自招竞赛 求方程 $2^{x} \cdot 3^{y}-5^{x} \cdot 7^{w}=1$ 的所有非负整数解 $(x,y,z,w)$． 2022-04-17 19:31:53
19761 5d11917a210b28021fc777b5 高中 解答题 自招竞赛 正整数 $m,n,k$ 满足 $mn = k^2 + k + 3$，证明不定方程 $x^{2}+11 y^{2}=4 m$ 和 $x^{2}+11 y^{2}=4 n$ 中至少有一个有奇数解 $(x,y)$． 2022-04-17 19:28:53
19751 5d130c2f210b280220ed4e2e 高中 解答题 自招竞赛 试求不小于 $9$ 的最小正整数 $ n $，满足对任给的 $ n $ 个整数（可以相同）$ a_{1},a_{2},\cdots,a_{n} $，总存在 $ 9 $ 个数 $ a_{i_{1}},a_{i_{2}},\cdots,a_{i_{9}}(1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{9} \leqslant n)$ 及 $ b_{i} \in\{4,7 |(i=1,2,\cdots,9)$，使得 $ b_{1} a_{i_{1}}+b_{2} a_{i_{2}}+\cdots+b_{9} a_{i_{9}} $ 为 $ 9$ 的倍数． 2022-04-17 19:22:53
19748 5d1325ec210b28021fc778b7 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数n，及实数 $x_{1} \leqslant x_{2} \leqslant \cdots \leqslant x_{n}, y_{1} \geqslant y_{2} \geqslant \cdots \geqslant y_n$，满足 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} i x_{i} \geqslant \sum_{i=1}^{n} i y_{i}$
证明：对任意实数 $a$，有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}[i \alpha] \geqslant \sum_{i=1}^{n} y_{i}[i \alpha]$
其中，$[\beta]$ 表示不超过实数 $\beta$ 的最大整数．		 2022-04-17 19:21:53
19737 5d13505b210b280220ed4f3c 高中 解答题 自招竞赛 求所有的素数对 $(p, q)$，使得 $p q | 5^{p}+5^{q}$． 2022-04-17 19:15:53
19733 5d1433f3210b280220ed5009 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n\geqslant 3$，证明：存在 $n$ 个互不相同的正整数组成的集合 $ S$，使得对 $S$ 的任意两个不同的非空子集 $A,B$，数 $\displaystyle \dfrac{\sum\limits_{x \in A} x}{|A|}$ 与 $\displaystyle \dfrac{\sum\limits_{x \in B} x}{|B|}$ 是互素的合数（这里 $\displaystyle \sum\limits_{x \in X} x$ 与 $|X|$ 分别表示有限数集 $X$ 的所有元素之和及元素个数．） 2022-04-17 19:14:53
19732 5d1328f5210b280220ed4ead 高中 解答题 自招竞赛 设 $A$ 是正整数集的无限子集，$n(n > 1)$ 是给定的整数．已知对任意一个不整除 $n$ 的质数 $p$，集合 $A$ 中均有无穷多个元素不被 $p$ 整除．证明：对任意整数 $m(m > 1),(m,n) = 1$，集 合 $A$ 中均存在有限个互不相同的元素，其和 $S$ 满足 $ s \equiv 1\pmod{m}$，且 $S \equiv 0\pmod n$． 2022-04-17 19:13:53
19731 5d1334c4210b280220ed4ed6 高中 解答题 自招竞赛 试确定所有同时满足 $q^{n+2} \equiv 3^{n+2}\left(\bmod p^{n}\right), p^{n+2} \equiv 3^{n+2}\left(\bmod q^{n}\right)$ 的三元数组 $(p,q,n)$，其中，$p,q$ 为奇质数，$n$ 为大于 $1$ 的整数． 2022-04-17 19:13:53
19730 5d12cf84210b280220ed4dd0 高中 解答题 自招竞赛 试证明：（1）若 $2n- 1$ 为素数，则对于任意 $n$ 个互不相同的正整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$，都存在 $i, j \in\{1,2, \cdots, n\}$，使得 $\dfrac{a_{i}+a_{j}}{\left(a_{i}, a_{j}\right)} \geqslant 2 n-1$
（2）若 $2n-1$ 为合数，则存在 $n$ 个互不相同的正整数 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$，使得 $\dfrac{a_{i}+a_{j}}{\left(a_{i}, a_{j}\right)} \geqslant 2 n-1$ $\dfrac{a_{i}+a_{i}}{\left(a_{i}, a_{j}\right)}<2 n-1$
其中，$(x,y)$ 表示正整数 $x,y$ 的最大公约数．		 2022-04-17 19:12:53
19727 5d075fba210b280220ed47a0 高中 解答题 自招竞赛 若对正整数 $n$，存在 $k$，使得 $n=n_{1} n_{2} \cdots n_{k}=2^{\tfrac{1}{2^k}\left(n_{1}-1\right) \cdots\left(n_{k}-1\right)}-1$ 其中 $n_{1}, \cdots, n_{k}$ 都是大于 $3$ 的整数，则称 $n$ 具有性质 $P$．求具有性质 $P$ 的所有数 $n$． 2022-04-17 19:11:53
19723 5cfe1c10210b28021fc76ff4 高中 解答题 自招竞赛 试求 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{10} \sum_{j=1}^{10} \sum_{k=1}^{10} | k(x+y-10 i)(3 x-6 y-36 j)(19 x+95y-95k)|$ 的最小值，其中 $x$ 和 $y$ 是任意整数． 2022-04-17 19:09:53
19718 5cf8aac4210b280220ed3fa9 高中 解答题 自招竞赛 已知整数列 $\left\{a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots\right\}$ 满足
（1）$a_{n+1}=3 a_{n}-3 a_{n-1}+a_{n-2}, n=2,3, \cdots$；
（2）$ 2 a_{1}=a_{0}+a_{2}-2$；
（3）对任意自然数 $m$，在数列 $\left\{a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots\right\}$ 中必有相继的 $m$ 项 $a_{k}, a_{k+1}, \cdots, a_{k+m-1}$ $a_{k}, a_{k+1}, \cdots, a_{k+m-1}$
求证：$\left\{a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots\right\}$ 的所有项都是完全平方数．		 2022-04-17 19:08:53
19707 5d15b073210b280220ed50d7 高中 解答题 自招竞赛 已知 $m、n$ 是给定的大于 $1$ 的整数，且 $a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{m}$ 都是整数．．证明：存在整数集的一个子集 $T$，其元素个数 $|T| \leqslant 1+\frac{a_{m}-a_{1}}{2 n+1}$，且对每个 $i \in\{1,2, \cdots, m\}$，均有 $t \in T$ 及 $s \in[-n, n]$，使得 $a_{i}=t+s$． 2022-04-17 19:00:53
19705 5d15b8da210b280220ed5103 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 为互不相同的正整数，满足 $\left[(n+1) a_{1}^{n}+n a_{2}^{n}+(n-1) a_{3}^{n}\right]\big|\left[(n+1) b_{1}^{n}+n b_{2}^{n}+(n-1) b_{3}^{n}\right]$ 对任何正整数 $n$ 成立．求证：存在正整数 $k$，使得 $b_{i}=k a_{i}(i=1,2,3)$． 2022-04-17 19:58:52
19691 5d19722b210b28021fc77afc 高中 解答题 自招竞赛 求所有正整数 $n$，使得存在正整数 $x$ 和 $y$，满足 $(x,y)=1$，且 $x^n+y^n$ 是 $(x+y)^4$ 的倍数． 2022-04-17 19:50:52
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