给定正整数n，及实数 $x_{1} \leqslant x_{2} \leqslant \cdots \leqslant x_{n}, y_{1} \geqslant y_{2} \geqslant \cdots \geqslant y_n$，满足 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} i x_{i} \geqslant \sum_{i=1}^{n} i y_{i}$
证明：对任意实数 $a$，有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}[i \alpha] \geqslant \sum_{i=1}^{n} y_{i}[i \alpha]$
其中，$[\beta]$ 表示不超过实数 $\beta$ 的最大整数．
证明：对任意实数 $a$，有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}[i \alpha] \geqslant \sum_{i=1}^{n} y_{i}[i \alpha]$
其中，$[\beta]$ 表示不超过实数 $\beta$ 的最大整数．
【难度】
【出处】
2008第23届CMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
先证明一个引理
引理：对任意实数 $a$ 和正整数 $n$，有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n-1}[i \alpha] \leqslant \frac{n-1}{2}[n \alpha]$．
引理的证明：只须将 $[i \alpha]+[(n-i) \alpha] \leqslant[n \alpha]$ 对 $i=1,2,\cdots,n-1$ 求和即得．
回到原理．
采用归纳法对 $n$ 进行归纳．
当 $n=1$ 时，显然
假设 $n=k$ 时，原命题成立，考虑 $n=k+1$．
令 $a_{i}=x_{i}+\frac{2}{k} x_{k+1}, b_{i}=y_{i}+\frac{2}{k} y_{k+1}(i=1,2, \cdots, k)$．显然 $a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \cdots \leqslant a_{k}, b_{1} \geqslant b_{2} \geqslant \cdots \geqslant b_{k}$，且通过计算知 $\sum_{i=1}^{k} i a_{i}=\sum_{i=1}^{k} i b_{i}$．
由归纳假设知 $\sum_{i=1}^{\overline{k}} a_{i}[i \alpha] \geqslant \sum_{i=1}^{k} b_{i}[i \alpha]$．
又 $x_{k+1} \geqslant y_{k+1}$，否则，若 $x_{k+1}<y_{k+1}$，则 $x_{1} \leqslant x_{2} \leqslant \cdots \leqslant x_{k+1}<y_{k+1} \leqslant \cdots \leqslant y_{2} \leqslant y_{1}, \sum_{i=1}^{k+1} i x_{i}=\sum_{i=1}^{k+1} i y_{i}$，矛盾．从而
$\sum_{i=1}^{k+1} x_{i}[i a]-\sum_{i=1}^{k} a_{i}[i a]=x_{k+1}\left([(k+1) \alpha]-\frac{2}{k} \sum_{i=1}^{k}[i a]\right) \geqslant y_{k+1}\left([(k+1) \alpha]-\frac{2}{k} \sum_{i=1}^{k}[i \alpha]\right)=\sum_{i=1}^{k+1} y_{i}[i \alpha]-\sum_{i=1}^{k} b_{i}[i \alpha]$
由此得 $\sum_{i=1}^{k+1} x_{i}[i a] \geqslant \sum_{i=1}^{k+1} y_{i}[i a]$
由归纳法知原命题对任意正整数 $n $ 均成立．
引理：对任意实数 $a$ 和正整数 $n$，有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n-1}[i \alpha] \leqslant \frac{n-1}{2}[n \alpha]$．
引理的证明：只须将 $[i \alpha]+[(n-i) \alpha] \leqslant[n \alpha]$ 对 $i=1,2,\cdots,n-1$ 求和即得．
回到原理．
采用归纳法对 $n$ 进行归纳．
当 $n=1$ 时，显然
假设 $n=k$ 时，原命题成立，考虑 $n=k+1$．
令 $a_{i}=x_{i}+\frac{2}{k} x_{k+1}, b_{i}=y_{i}+\frac{2}{k} y_{k+1}(i=1,2, \cdots, k)$．显然 $a_{1} \leqslant a_{2} \leqslant \cdots \leqslant a_{k}, b_{1} \geqslant b_{2} \geqslant \cdots \geqslant b_{k}$，且通过计算知 $\sum_{i=1}^{k} i a_{i}=\sum_{i=1}^{k} i b_{i}$．
由归纳假设知 $\sum_{i=1}^{\overline{k}} a_{i}[i \alpha] \geqslant \sum_{i=1}^{k} b_{i}[i \alpha]$．
又 $x_{k+1} \geqslant y_{k+1}$，否则，若 $x_{k+1}<y_{k+1}$，则 $x_{1} \leqslant x_{2} \leqslant \cdots \leqslant x_{k+1}<y_{k+1} \leqslant \cdots \leqslant y_{2} \leqslant y_{1}, \sum_{i=1}^{k+1} i x_{i}=\sum_{i=1}^{k+1} i y_{i}$，矛盾．从而
$\sum_{i=1}^{k+1} x_{i}[i a]-\sum_{i=1}^{k} a_{i}[i a]=x_{k+1}\left([(k+1) \alpha]-\frac{2}{k} \sum_{i=1}^{k}[i a]\right) \geqslant y_{k+1}\left([(k+1) \alpha]-\frac{2}{k} \sum_{i=1}^{k}[i \alpha]\right)=\sum_{i=1}^{k+1} y_{i}[i \alpha]-\sum_{i=1}^{k} b_{i}[i \alpha]$
由此得 $\sum_{i=1}^{k+1} x_{i}[i a] \geqslant \sum_{i=1}^{k+1} y_{i}[i a]$
由归纳法知原命题对任意正整数 $n $ 均成立．
答案
解析
备注
