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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
18712 5c85daeb210b28428f14d439 高中 解答题 自招竞赛 设 $a$ 与 $b$ 为正整数．已知 $4ab-1$ 整除 $(4a^{2}-1)^{2}$，证明：$a=b$．（英国） 2022-04-17 19:56:43
18707 5c85de8e210b284290fc2a8c 高中 解答题 自招竞赛 求所有的整数对 $(x,y)$，使得 $1+2^{x}+2^{2x+1}=y^{2}$．（美国） 2022-04-17 19:54:43
18706 5c85de96210b284290fc2a91 高中 解答题 自招竞赛 设 $P(x)$ 为 $n$ 次（$n>1$）整系数多项式，$k$ 是一个正整数．考虑多项式 $Q(x)=P(P(\ldots P(P(x))\ldots))$，其中 $P$ 出现 $k$ 次．证明：最多存在 $n$ 个整数 $t$，使得 $Q(t)=t$．（罗马尼亚） 2022-04-17 19:53:43
18703 5c85ed68210b28428f14d469 高中 解答题 自招竞赛 设 ${a}_{1},{a}_{2},\cdots$ 是一个整数数列，其中既有无穷多项是正整数，又有无穷多项是负整数．如果对每一个正整数 $n$，整数 ${a}_{1},{a}_{2},\cdots,{a}_{n}$ 被 $n$ 除后 所得到的 $n$ 个余数互不相同．证明：每个整数恰好在数列 ${a}_{1},{a}_{2},\cdots$ 中出现一次．（荷兰） 2022-04-17 19:51:43
18701 5c85ed78210b284290fc2aa4 高中 解答题 自招竞赛 数列 $a_1,a_2,\cdots$ 定义如下：${a}_{n}=2n+3n+6n-1,(n=1,2,3,\cdots)$．求与此数列的每一项都互质的所有正整数．（波兰） 2022-04-17 19:49:43
18551 5c85f643210b28428f14d4a2 高中 解答题 自招竞赛 求所有的正整数数对 $(a,b)$，使得 $\dfrac{{{a}^{2}}}{2a{{b}^{2}}-{{b}^{3}}+1}$ 是一个正整数．（保加利亚） 2022-04-17 19:25:42
18550 5c85f669210b284290fc2ad5 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 为质数．求证：存在一个质数 $q$，使得对任意整数 $n$，数 ${n}^{p}-p$ 不是 $q$ 的倍数．（法国） 2022-04-17 19:25:42
18540 5c85f8ed210b28428f14d4c5 高中 解答题 自招竞赛 找到所有的整数对 $m,n\geqslant 3$，使得存在无穷多个正整数 $a$，有 $\dfrac{{a}^{m}+a-1}{{a}^{n}+a^2-1}$ 为整数．（罗马尼亚） 2022-04-17 19:21:42
18539 5c85f8fc210b28428f14d4ca 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为大于 $1$ 的整数，全部正因数为 $d_1,d_2,\cdots,d_k$，其中 $1={d}_{1}<{d}_{2}<\cdots<{d}_{k}=n$，记 $D={d}_{1}{d}_{2}+{d}_{2}{d}_{3}+\cdots+{d}_{k-1}{d}_{k}$．
（a）求证：$D<{n}^{2}$；
（b）确定所有能的 $D$，使得 $D$ 能整除 ${n}^{2}$．（罗马尼亚）		 2022-04-17 19:20:42
18533 5c85fedc210b28428f14d4e7 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是奇数，且大于 $1,{k}_{1},{k}_{2},\cdots,{k}_{n}$ 为给定的整数．对于 $1,2,\cdots,n$ 的 $n!$ 个排列中的每一个 $a={{a}_{1},{a}_{2},\cdots,{a}_{n}}$，记 $\displaystyle S(a)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{k}_{i}}{{a}_{i}}}$．
求证：有两个排列 $b$ 和 $c$，$b≠c$，使得 $S(b)-S(c)$ 能被 $n!$ 整除．（加拿大）		 2022-04-17 19:17:42
18515 5c85fee9210b284290fc2afd 高中 解答题 自招竞赛 设 $a、b、c、d$ 为整数，$a>b>c>d>0$，且 $ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$．求证：$ab+cd$ 不是素数．（保加利亚） 2022-04-17 19:07:42
18474 5c86038a210b284290fc2b12 高中 解答题 自招竞赛 确定是否存在满足下列条件的正整数 $n$：$n$ 恰好能够被 $2000$ 个互不相同的质数整除，且 $2^n+1$ 能够被 $n$ 整除．（俄罗斯） 2022-04-17 19:45:41
18466 5c8606dc210b28428f14d528 高中 解答题 自招竞赛 确定所有的正整数对 $(n,p)$，满足：$p$ 是一个质数，$n\leqslant 2p$，且 ${(p-1)}^{n}+1$ 能够被 ${n}^{p-1}$ 整除．（中国台湾） 2022-04-17 19:40:41
18461 5c860cf1210b28428f14d54a 高中 解答题 自招竞赛 对任给的正整数 $n$，令 $d(n)$ 表示 $n$ 的正因数（包含 $1$ 及 $n$ 本身）的个数．试确定所有可能的正整数 $k$，使得有一个正整数 $n$ 满足 $\dfrac{d({{n}^{2}})}{d(n)}=k$．（白俄罗斯） 2022-04-17 19:38:41
18460 5c860cfa210b28428f14d550 高中 解答题 自招竞赛 试确定使 $a{b}^{2}+b+7$ 整除 ${a}^{2}b+a+b$ 的全部正整数对 $(a,b)$．（英国） 2022-04-17 19:38:41
18448 5c86173d210b28428f14d57b 高中 解答题 自招竞赛 求所有的整数对 $(a,b)$，其中 $a\geqslant 1,b\geqslant 1$，且满足 ${{a}^{{{b}^{2}}}}={{b}^{a}}$．（捷克） 2022-04-17 19:30:41
18442 5c862421210b28428f14d59d 高中 解答题 自招竞赛 设正整数 $a,b$ 使 $15a+16b$ 和 $16a-15b$ 都是正整数的平方，求这两个平方数中较小的数能够取到的最小值．（俄罗斯） 2022-04-17 19:26:41
18429 5c87173f210b28428f14d5d7 高中 解答题 自招竞赛 对于任何正整数 $k,f(k)$ 表示集合 ${k+1,k+2,\cdots,2k}$ 内在二进制表示下恰好有 $3$ 个 $1$ 的所有元素的个数．
（$a$）求证：对于每个正整数 $m$，至少存在一个正整数 $k$，使得 $f(k)=m$；
（$b$）确定所有的正整数 $m$，对每一个 $m$，恰存在一个 $k$，满足 $f(k)=m$．（罗马尼亚）		 2022-04-17 19:19:41
18428 5c87174a210b28428f14d5dd 高中 解答题 自招竞赛 求出所有的有序正整数对 $(m,n)$，使得 $\dfrac{{{n}^{3}}+1}{mn-1}$ 是一个整数．（澳大利亚） 2022-04-17 19:18:41
18426 5c87176a210b284290fc2b89 高中 解答题 自招竞赛 求证：存在一个具有下述性质的正整数的集合 $A$：对于任何由无限多个素数组成的集合 $S$，存在正整数 $k\geqslant 2$ 及正整数 $m\in A$ 和 $n\notin A$，使得 $m$ 和 $n$ 均为 $S$ 中 $k$ 个不同元素的乘积．（芬兰） 2022-04-17 19:17:41
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