设 $n$ 为大于 $1$ 的整数，全部正因数为 $d_1,d_2,\cdots,d_k$，其中 $1={d}_{1}<{d}_{2}<\cdots<{d}_{k}=n$，记 $D={d}_{1}{d}_{2}+{d}_{2}{d}_{3}+\cdots+{d}_{k-1}{d}_{k}$．
（a）求证：$D<{n}^{2}$；
（b）确定所有能的 $D$，使得 $D$ 能整除 ${n}^{2}$．（罗马尼亚）
（a）求证：$D<{n}^{2}$；
（b）确定所有能的 $D$，使得 $D$ 能整除 ${n}^{2}$．（罗马尼亚）
【难度】
【出处】
2002年第43届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
（a）若 $d$ 是 $n$ 的正因数，则 $\dfrac{n}{d}$ 也是 $n$ 的正因数，于是
$\begin{aligned}
D&=d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k\\
&=\frac{n^2}{d_kd_{k-1}}+\frac{n^2}{d_{k-1}d_{k-2}}+\cdots+\frac{n^2}{d_2d_1}\\
&=n^2\left(\frac{1}{d_1d_2}+\frac{1}{d_2d_3}+\cdots+\frac{1}{d_{k-1}d_k}\right)\\
&\leqslant n^2\left[\left(\frac{1}{d_1}-\frac{1}{d_2}\right)+\left(\frac{1}{d_2}-\frac{1}{d_3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{d_{k-1}}-\frac{1}{d_k}\right)\right]\\
&=n^2\left(\frac{1}{d_1}-\frac{1}{d_k}\right)\\
&<\frac{n^2}{d_1}=n^2
\end{aligned}$
（b）设 $p$ 为 $n$ 的最小质因数，则 $d_2=p,d_{k-1}=\dfrac{n}{p}$．
若 $n=p$，则 $k=2,D=p=n$，故 $D|n^2$．
若 $n\ne p$，则 $n$ 为合数，$k>2$，此时 $D>d_{k-1}d_k=\dfrac{n}{p}\cdot n=\dfrac{n^2}{p}$．如果有 $D|n^2$，则 $\dfrac{n^2}{D}$ 也是 $n^2$ 的因数，但是 $1<\dfrac{n^2}{D}<p$，这与 $P$ 为 $n$ 的最小质因数矛盾．
所以，若 $D|n^2$，则 $n$ 为质数．
$\begin{aligned}
D&=d_1d_2+d_2d_3+\cdots+d_{k-1}d_k\\
&=\frac{n^2}{d_kd_{k-1}}+\frac{n^2}{d_{k-1}d_{k-2}}+\cdots+\frac{n^2}{d_2d_1}\\
&=n^2\left(\frac{1}{d_1d_2}+\frac{1}{d_2d_3}+\cdots+\frac{1}{d_{k-1}d_k}\right)\\
&\leqslant n^2\left[\left(\frac{1}{d_1}-\frac{1}{d_2}\right)+\left(\frac{1}{d_2}-\frac{1}{d_3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{d_{k-1}}-\frac{1}{d_k}\right)\right]\\
&=n^2\left(\frac{1}{d_1}-\frac{1}{d_k}\right)\\
&<\frac{n^2}{d_1}=n^2
\end{aligned}$
（b）设 $p$ 为 $n$ 的最小质因数，则 $d_2=p,d_{k-1}=\dfrac{n}{p}$．
若 $n=p$，则 $k=2,D=p=n$，故 $D|n^2$．
若 $n\ne p$，则 $n$ 为合数，$k>2$，此时 $D>d_{k-1}d_k=\dfrac{n}{p}\cdot n=\dfrac{n^2}{p}$．如果有 $D|n^2$，则 $\dfrac{n^2}{D}$ 也是 $n^2$ 的因数，但是 $1<\dfrac{n^2}{D}<p$，这与 $P$ 为 $n$ 的最小质因数矛盾．
所以，若 $D|n^2$，则 $n$ 为质数．
答案
解析
备注
