确定所有的正整数对 $(n,p)$，满足：$p$ 是一个质数，$n\leqslant 2p$，且 ${(p-1)}^{n}+1$ 能够被 ${n}^{p-1}$ 整除．（中国台湾）
【难度】
【出处】
1999年第40届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
显然，$(n,p)=(1,p),(2,2)$ 满足题意．
对于 $n\geqslant 2,p\geqslant 3$，因为 $(p-1)^n+1$ 是奇数，所以 $n$ 也是奇数，故 $n<2p$．
记 $q$ 为 $n$ 的最小质因子，则 $q|(p-1)^n+1$
所以 $(p-1)^n\equiv -1\pmod{q}$
且 $(q,p-1)=1$．由 $q$ 的选取知 $(n,q-1)=1$，于是由 $B\acute{e}zout$ 定理知，存在整数 $ u,v $ 使得 $ un+v(q-1)=1$．
根据费马小定理，有
$\begin{aligned}
p-1&=(p-1)^{un+v(q-1)}\\
&=(p-1)^{un}\cdot (p-1)^{v(q-1)}\\
&\equiv(-1)^u\cdot 1^v\\
&=(-1)^u\pmod{q}
\end{aligned}$
由 $un=1-v(q-1)$ 是奇数知 $u$ 是奇数，所以 $p-1\equiv -1\pmod{q}$，故 $q|p$，于是 $q=p$．而 $p|n,n<2p$，所以 $n=p$，我们便得 $p^{p-1}|(p-1)^p+1$．
$(p-1)^p+1=p^p-C_p^1p^{p-1}+C_p^2p^{p-2}-\cdots+C_p^{p-1}p-1+1=p^2(p^{p-2}-C_p^1p^{p-3}+C_p^2p^{p-4}-\cdots-C_p^{p-2}+1)$．
上式中的 $p^{p-2}-C_p^1p^{p-3}+\cdots-C_p^{p-2}+1$ 除 $1$ 外，其余均可被 $p$ 整除，所以 $p-1\leqslant 2,p=3$．
综上所述，所有的解为 $(2,2),(3,3)$ 和 $(1,p)$，其中 $p$ 为任意质数．
对于 $n\geqslant 2,p\geqslant 3$，因为 $(p-1)^n+1$ 是奇数，所以 $n$ 也是奇数，故 $n<2p$．
记 $q$ 为 $n$ 的最小质因子，则 $q|(p-1)^n+1$
所以 $(p-1)^n\equiv -1\pmod{q}$
且 $(q,p-1)=1$．由 $q$ 的选取知 $(n,q-1)=1$，于是由 $B\acute{e}zout$ 定理知，存在整数 $ u,v $ 使得 $ un+v(q-1)=1$．
根据费马小定理，有
$\begin{aligned}
p-1&=(p-1)^{un+v(q-1)}\\
&=(p-1)^{un}\cdot (p-1)^{v(q-1)}\\
&\equiv(-1)^u\cdot 1^v\\
&=(-1)^u\pmod{q}
\end{aligned}$
由 $un=1-v(q-1)$ 是奇数知 $u$ 是奇数，所以 $p-1\equiv -1\pmod{q}$，故 $q|p$，于是 $q=p$．而 $p|n,n<2p$，所以 $n=p$，我们便得 $p^{p-1}|(p-1)^p+1$．
$(p-1)^p+1=p^p-C_p^1p^{p-1}+C_p^2p^{p-2}-\cdots+C_p^{p-1}p-1+1=p^2(p^{p-2}-C_p^1p^{p-3}+C_p^2p^{p-4}-\cdots-C_p^{p-2}+1)$．
上式中的 $p^{p-2}-C_p^1p^{p-3}+\cdots-C_p^{p-2}+1$ 除 $1$ 外，其余均可被 $p$ 整除，所以 $p-1\leqslant 2,p=3$．
综上所述，所有的解为 $(2,2),(3,3)$ 和 $(1,p)$，其中 $p$ 为任意质数．
答案
解析
备注
