设 $p$ 为质数．求证：存在一个质数 $q$，使得对任意整数 $n$，数 ${n}^{p}-p$ 不是 $q$ 的倍数．（法国）
【难度】
【出处】
2003年第44届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
注意到
$\dfrac{p^p-1}{p-1}=1+p+p^2+\cdots+p^{p-1}\equiv p+1\pmod{p^2}$
我们可以取 $\dfrac{p^p-1}{p-1}$ 的一个质因子 $q$，使得 $q\equiv 1\pmod{p^2}$．
下证：$q$ 是一个符合要求的质数．
事实上，若存在整数 $n$ 使得 $n^p\equiv p\pmod{q}$．则 $n^{p^2}\equiv p^p\equiv 1\pmod{q}$．而由费马小定理，可知 $n^{q-1}\equiv 1\pmod{q}$．由于 $p^2\nmid q-1$，故 $(p^2,q-1)|p$，因此，$n^p\equiv 1\pmod{q}$．从而 $p\equiv 1\pmod{q}$，但是，这要求 $0\equiv \dfrac{p^p-1}{p-1}=1+p+\cdots +p^{p-1}\equiv p\pmod{q}$，矛盾．
所以，命题成立．
$\dfrac{p^p-1}{p-1}=1+p+p^2+\cdots+p^{p-1}\equiv p+1\pmod{p^2}$
我们可以取 $\dfrac{p^p-1}{p-1}$ 的一个质因子 $q$，使得 $q\equiv 1\pmod{p^2}$．
下证：$q$ 是一个符合要求的质数．
事实上，若存在整数 $n$ 使得 $n^p\equiv p\pmod{q}$．则 $n^{p^2}\equiv p^p\equiv 1\pmod{q}$．而由费马小定理，可知 $n^{q-1}\equiv 1\pmod{q}$．由于 $p^2\nmid q-1$，故 $(p^2,q-1)|p$，因此，$n^p\equiv 1\pmod{q}$．从而 $p\equiv 1\pmod{q}$，但是，这要求 $0\equiv \dfrac{p^p-1}{p-1}=1+p+\cdots +p^{p-1}\equiv p\pmod{q}$，矛盾．
所以，命题成立．
答案
解析
备注
