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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
18417 5c871c33210b284290fc2b9b 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是一个大于 $1$ 的整数，有 $n$ 个灯 ${L}_{0},\cdots,{L}_{n-1}$ 作环状排列．每个灯的状态要么"开"要么"关"，现在进行一系列的步骤 ${S}_{0},{S}_{1},\cdots,S_i,\cdots$，步骤 ${S}_{j}$ 按下列规则影响 $L_j$ 的状态（它不改变其他所有的灯的状态）：
如果 ${L}_{j-1}$ 是"开"的，那么 $S_j$ 改变 ${L}_{j}$ 的状态，使它从"开"到"关"或者从"关"到"开"；
如果 ${L}_{j-1}$ 是"关"的，那么 $S_j$ 不改变 ${L}_{j}$ 的状态．
上面的叙述中灯的编号，应按 $\pmod{n}$ 同余的方式理解，即
$L_{-1}=L_{n-1},L_0=L_n,L_1=L_{n+1},\cdots$．
假设开始时全部灯都是"开"的，求证：
（$a$）存在一个正整数 $M(n)$，使得经过 $M(n)$ 个步骤后，全部灯再次全为"开"的；
（$b$）若 $n$ 为 ${2}^{k}$ 型的数，则经 $n^2-1$ 个步骤之后，全部的灯都是"开"的；
（$c$）若 $n$ 为 ${2}^{k}+1$ 型的数，则经 $n^2-n+1$ 个步骤之后，全部的灯都是"开"的．（荷兰）		 2022-04-17 19:12:41
18416 5c8720eb210b284290fc2ba5 高中 解答题 自招竞赛 试求出所有的整数 $a,b,c$，其中 $1<a<b<c$，且使得 $(a-1)(b-1)(c-1)$ 是 $abc-1$ 的约数．（新西兰） 2022-04-17 19:11:41
18407 5c872110210b284290fc2bb5 高中 解答题 自招竞赛 对于每个正整数 $n$，以 $S(n)$ 表示满足如下条件的最大整数：对于每个正整数 $k\leqslant S(n)$，${n}^{2}$ 都可以表示为 $k$ 个正整数的平方和．
（$a$）求证：对于每个正整数 $n\geqslant 4$，都有 $S(n)\leqslant {n}^{2}-14$；
（$b$）试找出一个正整数 $n$，使得 $S(n)={n}^{2}-14$；
（$c$）求证：存在无限多个整数 $n$，使得 $S(n)\leqslant {n}^{2}-14$．（英国）		 2022-04-17 19:06:41
18405 5c87252d210b28428f14d626 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是大于 $6$ 的整数，且 ${a}_{1},{a}_{2},\cdots,{a}_{k}$ 是所有小于 $n$ 且与 $n$ 互素的正整数．如果有 ${a}_{2} - {a}_{1} = {a}_{3} - {a}_{2} = \cdots = {a}_{k} - {a}_{k-1} > 0$，求证：$n$ 或是素数或是 $2$ 的某个正整数次方．（罗马尼亚） 2022-04-17 19:05:41
18403 5c872534210b28428f14d62c 高中 解答题 自招竞赛 设 $S=\{1,2,3,…,280\}$．求最小的正整数 $n$，使得 $S$ 的每个 有 $n$ 个 元素的子集都含有 $5$ 个两两互素的数．（中国） 2022-04-17 19:04:41
18395 5c872c8c210b284290fc2bd9 高中 解答题 自招竞赛 试求出所有的正整数 $n>1$，使得 $\dfrac{{{2}^{n}}+1}{{{n}^{2}}}$ 是整数．（罗马尼亚） 2022-04-17 19:00:41
18352 5c873f30210b28428f14d665 高中 解答题 自招竞赛 求证：对任何正整数 $n$，都存在 $n$ 个相继的正整数，它们都不是数是的整数幂．（瑞典） 2022-04-17 19:36:40
18345 5c874390210b28428f14d685 高中 解答题 自招竞赛 已知正整数 $a$ 和 $b$ 使得 $ab+1$ 整除 ${a}^{2}+{b}^{2}$．求证：$\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{ab+1}$ 是某个正整数的平方．（联邦德国） 2022-04-17 19:33:40
18339 5c8745db210b28428f14d6a8 高中 解答题 自招竞赛 已知正整数 $n\geqslant 2$，且对于整数 $k,0\leqslant k\leqslant \sqrt{\dfrac{n}{3}} ,{k}^{2}+k+n $ 都是素数．求证：对于整数 $ k,0\leqslant k\leqslant n - 2,{k}^{2}+k+n$ 也是素数．（苏联） 2022-04-17 19:29:40
18337 5c874b81210b284290fc2c25 高中 解答题 自招竞赛 设正整数 $d$ 不等于 $2,5,13$．求证：在集合 $\{2,5,13,d\}$ 中 可以找到两个不同元素 $a,b$，使得 $ab-1$ 不是完全平方数．（联邦德国） 2022-04-17 19:28:40
18321 5c87518b210b284290fc2c57 高中 解答题 自招竞赛 求一对正整数 $a、b$，满足
（1）$ab(a+b)$ 不被 $7$ 整除；
（2）${(a+b)}^{7} - {a}^{7} - {b}^{7}$ 被 $7^7$ 整除．
证明你的答案。（荷兰）		 2022-04-17 19:20:40
18317 5c8751a6210b284290fc2c68 高中 解答题 自招竞赛 设 $a、b、c、d$ 为奇数，$0<a<b<c<d$，且 $ad=bc$．求证：$a+d={2}^{k},b+c={2}^{m}$ 其中 $k,m$ 为整数，那么 $a=1$．（波兰） 2022-04-17 19:18:40
18314 5c87569d210b28428f14d6f6 高中 解答题 自招竞赛 设 $a、b、c$ 为两两互素的正整数，求证：$2abc-ab-bc-ca$ 是不能用表示为 $xbc+yca+zab$ 的最大整数（其中 $x、y、z$ 是非负整数）．（联邦德国） 2022-04-17 19:17:40
18312 5c8756aa210b284290fc2c76 高中 解答题 自招竞赛 能否选出 $1983$ 个不同的正整数，使它们都不大于 $10^5$，且其中任何三数都不是某个等差数列中的连续三项？证明你的结论．（波兰） 2022-04-17 19:16:40
18249 5c875a75210b284290fc2c90 高中 解答题 自招竞赛 考虑方程 ${x}^{3}-3x{y}^{2}+{y}^{3}=n$，其中 $n$ 为正整数，试证：
（1）如果方程有一组整数解 $(x,y)$，那么它至少有三组整数解；
（2）当 $n=2981$ 时，方程没有整数解．（英国）		 2022-04-17 19:42:39
18241 5c87640b210b284290fc2ca3 高中 解答题 自招竞赛 已知整数 $m、n$ 满足 $m,n\in\{1,2,\cdots,1981\}$ 及 ${({n}^{2}-mn-{m}^{2})}^{2}=1$，求 ${m}^{3}+{n}^{3}$ 的最大值．（荷兰） 2022-04-17 19:38:39
18240 5c876410210b28428f14d728 高中 解答题 自招竞赛 （$a$）对什么样的整数 $(n>2)$，有一个由 $n$ 个相继正整数组成的集合，使得集合中最大一个数是其余 $n-1$ 个数的最小公倍数的约数？
（$b$）对什么样的自然数 $(n>2)$，恰有一个集合具有上述性质．（比利时）		 2022-04-17 19:38:39
18238 5c876779210b28428f14d739 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 和 $q$ 为正整数，满足 $\dfrac{p}{q}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots -\dfrac{1}{1318}+\dfrac{1}{1319}$．求证：$p$ 可被 $1979$ 整除．（联邦德国） 2022-04-17 19:37:39
18232 5c876bfe210b284290fc2cd0 高中 解答题 自招竞赛 数 $1978^m$ 与 $1978^n$ 的最后三位数字相等．试求出正整数 $ m$ 和 $n$，使得 $m+n$ 取最小值（这里 $n>m\geqslant 1$）．（古巴） 2022-04-17 19:33:39
18222 5c877463210b28428f14d76a 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是一个给定的大于 $2$ 整数，而 ${V}_{n}$ 是一个形如 $1+kn$ 的数集（其中 $k=1,2,\cdots$）．一个数 $m\in {V}_{n}$，若不存在两个数 $p,q\in {V}_{n}$，使得 $pq=m$，则称 $m$ 为 ${V}_{n}$ 中的不可分解数．求证：存在一个数 $r\in {V}_{n}$，这个数可用不只一种方式表示成数集 ${V}_{n}$ 中的几个不可分解数的乘积．（荷兰） 2022-04-17 19:27:39
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