设 $a、b、c、d$ 为奇数，$0<a<b<c<d$，且 $ad=bc$．求证：$a+d={2}^{k},b+c={2}^{m}$ 其中 $k,m$ 为整数，那么 $a=1$．（波兰）
【难度】
【出处】
1984年第25届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
因为
$\begin{aligned}
a[(a+d)-(b+c)]&=a^2+ad-ab-ac\\
&=a^2+bc-ab-ac\\
&=(a-b)(a-c)\\
&>0
\end{aligned}$
所以 $a+d>b+c$，即 $2^k>2^m,k>m$．
又由 $ad=bc$，有 $a(2^k-a)=b(2^m-b)$
$2^m(b-2^{k-m}a)=b^2-a^2=(b-a)(b+a)$．
所以 $2^m|(b-a)(b+a)$．由于 $(b-a)+(b+a)=2b$，而 $4\nmid 2b$，故 $b-a$ 与 $b+a$ 不能都被 $4$ 整除，$2^{m-1}$ 必整除 $b-a$ 或 $b+a$ 之一．因为 $b+a<b+c=2^m$
所以 $b-a=2^{m-1}$ 或 $b+a=2^{m-1}$．
因 $a,b$ 是奇数，它们的公因数也是奇数，且是 $b-a$ 和 $b+a$ 的因数，从而是 $2^{m-1}$ 的奇因数，即为 $1$，所以 $(a,b)=1$．同理 $(a,c)=1$．由题设 $ad=bc$ 知 $a|bc$，所以 $a=1$．
$\begin{aligned}
a[(a+d)-(b+c)]&=a^2+ad-ab-ac\\
&=a^2+bc-ab-ac\\
&=(a-b)(a-c)\\
&>0
\end{aligned}$
所以 $a+d>b+c$，即 $2^k>2^m,k>m$．
又由 $ad=bc$，有 $a(2^k-a)=b(2^m-b)$
$2^m(b-2^{k-m}a)=b^2-a^2=(b-a)(b+a)$．
所以 $2^m|(b-a)(b+a)$．由于 $(b-a)+(b+a)=2b$，而 $4\nmid 2b$，故 $b-a$ 与 $b+a$ 不能都被 $4$ 整除，$2^{m-1}$ 必整除 $b-a$ 或 $b+a$ 之一．因为 $b+a<b+c=2^m$
所以 $b-a=2^{m-1}$ 或 $b+a=2^{m-1}$．
因 $a,b$ 是奇数，它们的公因数也是奇数，且是 $b-a$ 和 $b+a$ 的因数，从而是 $2^{m-1}$ 的奇因数，即为 $1$，所以 $(a,b)=1$．同理 $(a,c)=1$．由题设 $ad=bc$ 知 $a|bc$，所以 $a=1$．
答案
解析
备注
