对于每个正整数 $n$，以 $S(n)$ 表示满足如下条件的最大整数：对于每个正整数 $k\leqslant S(n)$，${n}^{2}$ 都可以表示为 $k$ 个正整数的平方和．
（$a$）求证：对于每个正整数 $n\geqslant 4$，都有 $S(n)\leqslant {n}^{2}-14$；
（$b$）试找出一个正整数 $n$，使得 $S(n)={n}^{2}-14$；
（$c$）求证：存在无限多个整数 $n$，使得 $S(n)\leqslant {n}^{2}-14$．（英国）
（$a$）求证：对于每个正整数 $n\geqslant 4$，都有 $S(n)\leqslant {n}^{2}-14$；
（$b$）试找出一个正整数 $n$，使得 $S(n)={n}^{2}-14$；
（$c$）求证：存在无限多个整数 $n$，使得 $S(n)\leqslant {n}^{2}-14$．（英国）
【难度】
【出处】
1992年第33届IMO试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
（$a$）用反证法．
假设对某个 $n\geqslant 4$，有 $S(n)>n^2-14$，则存在 $k=n^2-13$ 个正整数 $a_1,a_2,\cdots,a_k$，使得 $n^2=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2$
于是就有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^k(a_i^2-1)=13$ ①
从而 $0\leqslant a_i^2-1\leqslant 13$．
$a_i^2-1\in\{0,3,8\}$，设在 $a_i^2-1(i=1,2,\cdots,k)$ 中有 $a$ 个 $0$，$b$ 个 $3$，$c$ 个 $8$．于是就有 $3b+8c=13$，这就表明 $c=0$ 或 $1$；但相应的 $b$ 不为整数，矛盾．
（$b$）每个大于 $13$ 的正整数 $m$ 可以表示为 $3b+8c$，其中 $b,c$ 为非负整数．事实上，若 $m=3s+1$，则 $s\geqslant 5$，$m=3(s-5)+2\times 8$．若 $m=3s+2$，则 $s\geqslant 4,m=3(s-2)+8$．
于是若 $m$ 满足 $14\leqslant m\dfrac{3}{4}n^2$，则对于上面的 $b,c,m+b+c\leqslant m+\dfrac{1}{3}m\leqslant n^2$，由
$n=\underbrace{1^2+\cdots+1^2}_{(n^2-m-b-c)个}+\underbrace{2^2+\cdots+2^2}_{b个}+\underbrace{3^2+\cdots+3^2}_{c个}$
既知 $n^2$ 可表为 $n^2-m$ 个平方和，从而 $n^2$ 可表为 $n^2-14,n^2-15,\cdots,\left[\dfrac{1}{4}n^2\right]+1$ 个平方和．
对于 $n=13$，有 $n^2=12^2+5^2=12^2+4^2+3^2=8^2+8^2+5^2+4^2$．
由于 $8^2$ 可表为 $4$ 个 $4^2$ 的和，$4^2$ 可表为 $4$ 个 $2^2$ 的和，$2^2$ 可表为 $4$ 个 $1^2$ 的和，所以 $13^2=8^2+8^2+5^2+4^2$ 可表为 $4,7,10,\cdots,43$ 个平方的和，又由于 $5^2=4^2+3^2$，$13^2$ 可表为 $5,8,11,\cdots,44$ 个平方的和．
由于 $12^2$ 可表为 $4$ 个 $6^2$ 的和，$6^2$ 可表为 $4$ 个 $3^2$ 的和，所以 $13^2=12^2+4^2+3^2$ 可表为 $3,6,9,\cdots,33$ 个平方的和．
又 $13^2=\underbrace{3^2+3^2+\cdots+3^2}_{17个}+4^2$，而 $3^2=2^2+2^2+1$，所以 $13^2$ 可表为 $18+2\times 9=36,18+2\times 12=42$ 个平方的和．再由 $4^2$ 为 $4$ 个 $2^2$ 的和．再由 $4^2$ 为 $4$ 个 $2^2$ 的和，$13^2$ 也可表为 $39$ 个平方的和．
综上所述，$13^2$ 可表为 $1,2,\cdots,44$ 个平方的和．
又 $n=13$ 时，$\left[\dfrac{1}{4}n^2\right]=42$，所以 $n=13$ 满足 $s(n)=n^2-14$．
（$c$）令 $n=2^k\times 13$．
因为 $13^2$ 可表为 $1,2,\cdots,155$ 个平方的和，$2^2$ 可表为 $4$ 个平方的和，所以 $13^2\times 2^2$ 可表为 $1,2,\cdots,155\times 4$ 个平方的和，$13^2\times 2^4$ 可表为 $1,2,\cdots,155\times 4^2$ 个平方的和，$\cdots$，$n^2=13^2\times 2^{2k}$ 可表为 $1,2,\cdots,155\times 4^k
$ 个平方的和．
因为 $155\times 4^{k}>\dfrac{1}{4}(2^k\times 13)^2=\dfrac{1}{4}n^2$，所以 $s(n)=n^2-14$．
假设对某个 $n\geqslant 4$，有 $S(n)>n^2-14$，则存在 $k=n^2-13$ 个正整数 $a_1,a_2,\cdots,a_k$，使得 $n^2=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2$
于是就有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^k(a_i^2-1)=13$ ①
从而 $0\leqslant a_i^2-1\leqslant 13$．
$a_i^2-1\in\{0,3,8\}$，设在 $a_i^2-1(i=1,2,\cdots,k)$ 中有 $a$ 个 $0$，$b$ 个 $3$，$c$ 个 $8$．于是就有 $3b+8c=13$，这就表明 $c=0$ 或 $1$；但相应的 $b$ 不为整数，矛盾．
（$b$）每个大于 $13$ 的正整数 $m$ 可以表示为 $3b+8c$，其中 $b,c$ 为非负整数．事实上，若 $m=3s+1$，则 $s\geqslant 5$，$m=3(s-5)+2\times 8$．若 $m=3s+2$，则 $s\geqslant 4,m=3(s-2)+8$．
于是若 $m$ 满足 $14\leqslant m\dfrac{3}{4}n^2$，则对于上面的 $b,c,m+b+c\leqslant m+\dfrac{1}{3}m\leqslant n^2$，由
$n=\underbrace{1^2+\cdots+1^2}_{(n^2-m-b-c)个}+\underbrace{2^2+\cdots+2^2}_{b个}+\underbrace{3^2+\cdots+3^2}_{c个}$
既知 $n^2$ 可表为 $n^2-m$ 个平方和，从而 $n^2$ 可表为 $n^2-14,n^2-15,\cdots,\left[\dfrac{1}{4}n^2\right]+1$ 个平方和．
对于 $n=13$，有 $n^2=12^2+5^2=12^2+4^2+3^2=8^2+8^2+5^2+4^2$．
由于 $8^2$ 可表为 $4$ 个 $4^2$ 的和，$4^2$ 可表为 $4$ 个 $2^2$ 的和，$2^2$ 可表为 $4$ 个 $1^2$ 的和，所以 $13^2=8^2+8^2+5^2+4^2$ 可表为 $4,7,10,\cdots,43$ 个平方的和，又由于 $5^2=4^2+3^2$，$13^2$ 可表为 $5,8,11,\cdots,44$ 个平方的和．
由于 $12^2$ 可表为 $4$ 个 $6^2$ 的和，$6^2$ 可表为 $4$ 个 $3^2$ 的和，所以 $13^2=12^2+4^2+3^2$ 可表为 $3,6,9,\cdots,33$ 个平方的和．
又 $13^2=\underbrace{3^2+3^2+\cdots+3^2}_{17个}+4^2$，而 $3^2=2^2+2^2+1$，所以 $13^2$ 可表为 $18+2\times 9=36,18+2\times 12=42$ 个平方的和．再由 $4^2$ 为 $4$ 个 $2^2$ 的和．再由 $4^2$ 为 $4$ 个 $2^2$ 的和，$13^2$ 也可表为 $39$ 个平方的和．
综上所述，$13^2$ 可表为 $1,2,\cdots,44$ 个平方的和．
又 $n=13$ 时，$\left[\dfrac{1}{4}n^2\right]=42$，所以 $n=13$ 满足 $s(n)=n^2-14$．
（$c$）令 $n=2^k\times 13$．
因为 $13^2$ 可表为 $1,2,\cdots,155$ 个平方的和，$2^2$ 可表为 $4$ 个平方的和，所以 $13^2\times 2^2$ 可表为 $1,2,\cdots,155\times 4$ 个平方的和，$13^2\times 2^4$ 可表为 $1,2,\cdots,155\times 4^2$ 个平方的和，$\cdots$，$n^2=13^2\times 2^{2k}$ 可表为 $1,2,\cdots,155\times 4^k
$ 个平方的和．
因为 $155\times 4^{k}>\dfrac{1}{4}(2^k\times 13)^2=\dfrac{1}{4}n^2$，所以 $s(n)=n^2-14$．
答案
解析
备注
