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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19106 5d4a70f1210b28021fc795b4 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a、b、c$ 为两两互质的正整数，且 $a^{2} |\left(b^{3}+c^{3}\right),b^{2}\left|\left(a^{3}+c^{3}\right), c^{2}\right|\left(a^{3}+b^{3}\right)$，求 $a、b、c$ 的值． 2022-04-17 19:38:47
19049 5d4bd1ca210b28021fc796b5 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,c\in\{0,1,2,\cdots,9\}$，若二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 有有理根，证明：三位数 $\overline{abc}$ 不是素数． 2022-04-17 19:07:47
19048 5d4bd686210b280220ed76b3 高中 解答题 自招竞赛 对于集合 $A=\{a_1,a_2,\cdots,a_m\}$，记 $P(A)=a_1a_2\cdots a_m$．设 $A_1,A_2,\cdots,A_n(n=C_{2010}^{99})$ 是集合 $\{1,2,\cdots,2010\}$ 的所有 $99$ 元子集，求证：$\displaystyle 2011|\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)$． 2022-04-17 19:07:47
19046 5d4cea90210b280220ed774c 高中 解答题 自招竞赛 设正整数 $a,b$ 满足 $1\leqslant a<b\leqslant 100$，若存在正整数 $k$，使得 $ab|(a^k+b^k)$，则称数对 $(a,b)$ 是"好的"．求所有"好的"数对的个数． 2022-04-17 19:06:47
18995 5d4d33df210b28021fc797eb 高中 解答题 自招竞赛 试求满足方程 $x^2-2xy+126y^2=2009$ 的所有整数对 $(x,y)$． 2022-04-17 19:38:46
18972 5d52345c210b28021fc7996d 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为正整数，$f(n)$ 表示满足以下条件的 $n$ 位数（称为波形数）$\overline{a_1a_2\cdots a_n}$ 的个数；
（i）每一位数码 $a_i\in\{1,2,3,4\}$，且 $a_i\ne a_{i+1},i=1,2,\cdots$；
（ii）当 $n\geqslant 3$ 时，$a_i-a_{i+1}$ 与 $a_{i+1}-a_{i+2}$ 的符号相反，$i=1,2,\cdots$．
（1）求 $f(10)$ 的值；
（2）确定 $f(2008)$ 被 $13$ 除得的余数．		 2022-04-17 19:25:46
18962 5d528128210b280220ed7a56 高中 解答题 自招竞赛 试求满足下列条件的质数三元组 $(a,b,c)$；
（1）$a<b<c<100,a,b,c$ 为质数；
（2）$a+1,b+1,c+1$ 组成等比数列．		 2022-04-17 19:20:46
18911 5d54c9c0210b28021fc79ae9 高中 解答题 自招竞赛 试求满足 $a^2+b^2+c^2=2005$，且 $a\leqslant b\leqslant c$ 的所有三元正整数组 $(a,b,c)$． 2022-04-17 19:51:45
18848 5d47bd9a210b280220ed71f3 高中 解答题 自招竞赛 给定素数 $p$，定义 $f_i(n)$ 为满足 $a\equiv ib \bmod p,1\leqslant a< b\leqslant n,n\in N^{\ast}$ 的正整数对 $(a,b)$ 的组数．对正整数 $k$，求 $\max_{0\leqslant i\leqslant p-i}\{f_i(kp)\}-\min_{0\leqslant i\leqslant p-i}\{f_i(kp)\}$ 的值． 2022-04-17 19:15:45
18843 5d492413210b280220ed7430 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a \equiv b \equiv 1(\bmod 3)$，求证：有无穷多个最终周期素数列 $\{P_n\}$ 满足 $P_{n+1} | P_{n}^{2}+a P_{n}+b$． 2022-04-17 19:11:45
18840 5c821407210b284290fc2997 高中 解答题 自招竞赛 确定所有三元正整数组 $\left( a,b,c \right)$，使得 $ab-c\text{,}bc-a\text{,}~ca-b$ 中的每个数都是 $2$ 的方幂．
（$2$ 的方幂是指形如 ${{2}^{n}}$ 的整数，其中 $n$ 是一个非负整数．）（塞尔维亚）		 2022-04-17 19:09:45
18835 5d567293210b28021fc79c64 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_1,a_2,\cdots$ 是一个无限项正整数序列．已知存在整数 $N>1$，使得对每个整数 $n\geqslant N$，$\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{a_2}{a_3}+\cdots+\dfrac{a_{n-1}}{a_n}+\dfrac{a_n}{a_1}$ 都是整数．证明：存在正整数 $M$，使得 $a_m=a_{m+1}$ 对所有整数 $m\geqslant M$ 都成立．（蒙古） 2022-04-17 19:06:45
18828 59bb3db177c760000717e414 高中 解答题 自招竞赛 一个本原格点是一个有序正整数对 $(x,y)$，其中 $x$ 和 $y$ 的最大公约数为 $1$．给定一个有限的本原格点集 $S$．证明：存在一个正整数 $n$ 和整数 $a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n$，使得对于 $S$ 中的每一个 $(x,y)$，下式都成立：$a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1.$（美国） 2022-04-17 19:02:45
18827 5c820ed0210b284290fc2981 高中 解答题 自招竞赛 一个由正整数构成的集合称为芳香集，若它至少有两个元素，且其中每个元素都与其他元素中的至少一个元素有公共的素因子．设 $P\left( n \right)\text{=}{{n}^{2}}+n+1$．试问：正整数 $b$ 最小为何值时能够存在一个非负整数 $a$，使得集合 $\left\{ P\left( a+1 \right)\text{,}P\left( a+2 \right)\text{,}P\left( a+b \right) \right\}$ 是一个芳香集？（卢森堡） 2022-04-17 19:02:45
18812 5d26ca03210b280220ed5e48 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $m,n$ 互质，且都大于 $1$．证明：存在整数 $a、b、c$，满足 $m^a=1+n^bc$，且 $c$ 与 $n$ 互质． 2022-04-17 19:51:44
18811 5c85c048210b284290fc29df 高中 解答题 自招竞赛 证明对于任意一对正整数 $k$ 和 $n$，都存在 $k$ 个（不必不相同的）正整数 $m_{1},m_{2},\ldots,m_{k}$，使得 $1+\dfrac{2^{k}-1}{n}=\left(1+\dfrac{1}{m_{1}}\right)\left(1+\dfrac{1}{m_{2}}\right)\ldots\left(1+\dfrac{1}{m_{k}}\right)$．（日本） 2022-04-17 19:50:44
18779 5c85c8f6210b28428f14d3b3 高中 解答题 自招竞赛 设 $f$ 是一个定义在整数集上取值为正整数的函数，已知对任意两个整数 $m,n$，差 $f(m)-f(n)$ 能被 $f(m-n)$ 整除．证明：对所有整数 $m,n$，若 $f(m)\leqslant f(n)$，则 $f(n)$ 被 $f(m)$ 整除．（伊朗） 2022-04-17 19:32:44
18768 5c85cdb8210b28428f14d3d0 高中 解答题 自招竞赛 设 $\mathbb{N}$ 是所有正整数构成的集合．求所有的函数 $g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$，使得对所有 $m,n\in\mathbb{N}$，$(g(m)+n)(m+g(n))$ 是一个完全平方数．（美国） 2022-04-17 19:27:44
18748 5c85d329210b28428f14d3e5 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 是一个正整数，$a_{1},a_{2},\ldots,a_{k}$ 是集合 $\{1,\ldots,n\}$ 中的互不相同的整数，使得对于 $i=1,\ldots,k-1$，都有 $n$ 整除 $a_{i}(a_{i+1}-1)$．证明：$n$ 不整除 $a_{k}(a_{1}-1)$．（澳大利亚） 2022-04-17 19:17:44
18722 5c85d6e5210b28428f14d40a 高中 解答题 自招竞赛 证明：存在无穷多个正整数 $n$，使得 $n^{2}+1$ 有一个大于 $2n+\sqrt{2n}$ 的质因子．（立陶宛） 2022-04-17 19:01:44
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