试求满足 $a^2+b^2+c^2=2005$，且 $a\leqslant b\leqslant c$ 的所有三元正整数组 $(a,b,c)$．
【难度】
【出处】
2005中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于任何奇平方数被 $4$ 除余 $1$，任何偶平方数是 $4$ 的倍数，因 $2005$ 被 $4$ 除余 $1$，故 $a^2,b^2,c^2$ 三数中，必是两个偶平方数，一个奇平方数．
设 $a=2m,b=2n,c=2k-1$，$m,n,k$ 为正整数，原方程化为：$m^2+n^2+k(k-1)=501$ ①
又因任何平方数被 $3$ 除的余数，或者是 $0$，或者是 $1$，今讨论 $k$：
（i）若 $3|k(k-1)$，则由 ①，$3|m^2+n^2$，于是 $m,n$ 都是 $3$ 的倍数．
设 $m=3m_1,n=3n_1$，并且 $\dfrac{k(k-1)}{3}$ 是整数，由 ① $3m_1^2+3n_1^2+\dfrac{k(k-1)}{3}=167$ ②
于是 $\dfrac{k(k-1)}{3}\equiv 167\equiv 2\pmod{3}$．
设 $\dfrac{k(k-1)}{3}=3r+2$，则 $k(k-1)=9r+6$ ③
且由 ①，$k(k-1)<501$，所以 $k\leqslant 22$．
故由 ③，$k$ 可取 $3,7,12,16,21$ 代入 ② 分别得到如下情况：
$\begin{cases}k=3\\m_1^2+n_1^2=55\end{cases}$
$\begin{cases}k=7\\m_1^2+n_1^2=51\end{cases}$
$\begin{cases}k=12\\m_1^2+n_1^2=41\end{cases}$
$\begin{cases}k=16\\m_1^2+n_1^2=29\end{cases}$
$\begin{cases}k=21\\m_1^2+n_1^2=9\end{cases}$
由于 $55,51$ 都是 $4N+3$ 形状的数，不能表为两个平方的和，并且 $9$ 也不能表成两个正整数的平方和，因此只有 $k=12$ 与 $k=16$ 时有正整数解 $m_1,n_1$．
当 $k=12$，由 $m_1^2+n_1^2=41$，得 $(m_1,n_1)=(4,5)$，则 $a=6m_1=24,b=6n_1=30,c=2k-1=23$，于是 $(a,b,c)=(24,30,23)$．
当 $k=16$，由 $m_1^2+n_1^2=29$，得 $(m_1,n_1)=(2,5)$，这时 $a=6m_1=12,b=6n_1=30,c=2k-1=31$，因此 $(a,b,c)=(12,30,31)$．
（ii）若 $3\nmid k(k-1)$ 时，由于任何三个连续数中必有一个是 $3$ 的倍数，则 $k+1$ 是 $3$ 的倍数，故 $k$ 被 $3$ 除余 $2$，因此 $k$ 只能取 $2,5,8,11,14,17,20$ 诸值．
利用 ① 式分别讨论如下：
若 $k=2$，则 $m_1^2+n_1^2=499$，而 $499\equiv 3\pmod{4}$，此时无解．
若 $k=5$，则 $m_1^2+n_1^2=481$，利用关系式
$(\alpha^2+\beta^2)(x^2+y^2)=(\alpha x+\beta y)^2+(\alpha y-\beta x)^2=(\alpha x-\beta y)^2+(\alpha y+\beta x)^2$
可知 $481=13\times 37=(3^2+2^2)(6^2+1^2)=20^2+9^2=16^2+15^2$．
所以 $(m,n)=(9,20)$ 或 $(15,16)$．
于是得到两组解 $(a,b,c)=(2m,2n,2k-1)=(18,40,9)$ 或 $(30,32,9)$．
若 $k=8$，则 $m_1^2+n_1^2=445$，而 $445=5\times 89=(2^2+1^2)(8^2+5^2)=21^2+2^2=18^2+11^2$．所以 $(m,n)=(2,21)$ 或 $(11,18)$，得两组解 $(a,b,c)=(2m,2n,2k-1)=(4,42,15)$ 或 $(22,36,15)$．
若 $k=11$，有 $m_1^2+n_1^2=391$，而 $391\equiv 3\pmod{4}$，此时无解．
若 $k=14$，有 $m_1^2+n_1^2=319$，而 $319\equiv 3\pmod{4}$，此时无解．
若 $k=17$，有 $m_1^2+n_1^2=229$，而 $229=15^2+2^2$，得 $(m,n)=(2,15)$，得一组解 $(a,b,c)=(2m,2n,2k-1)=(4,30,33)$．
若 $k=20$，有 $m_1^2+n_1^2=121=11^2$，而 $11^2$ 不能表示两个正整数的平方和，因此本题共有 $7$ 组解为：$(23,24,30),(12,30,31),(9,18,40),(9,30,32),(4,15,42),(15,22,36),(4,30,33)$．
经检验，它们都满足方程．
设 $a=2m,b=2n,c=2k-1$，$m,n,k$ 为正整数，原方程化为：$m^2+n^2+k(k-1)=501$ ①
又因任何平方数被 $3$ 除的余数，或者是 $0$，或者是 $1$，今讨论 $k$：
（i）若 $3|k(k-1)$，则由 ①，$3|m^2+n^2$，于是 $m,n$ 都是 $3$ 的倍数．
设 $m=3m_1,n=3n_1$，并且 $\dfrac{k(k-1)}{3}$ 是整数，由 ① $3m_1^2+3n_1^2+\dfrac{k(k-1)}{3}=167$ ②
于是 $\dfrac{k(k-1)}{3}\equiv 167\equiv 2\pmod{3}$．
设 $\dfrac{k(k-1)}{3}=3r+2$，则 $k(k-1)=9r+6$ ③
且由 ①，$k(k-1)<501$，所以 $k\leqslant 22$．
故由 ③，$k$ 可取 $3,7,12,16,21$ 代入 ② 分别得到如下情况：
$\begin{cases}k=3\\m_1^2+n_1^2=55\end{cases}$
$\begin{cases}k=7\\m_1^2+n_1^2=51\end{cases}$
$\begin{cases}k=12\\m_1^2+n_1^2=41\end{cases}$
$\begin{cases}k=16\\m_1^2+n_1^2=29\end{cases}$
$\begin{cases}k=21\\m_1^2+n_1^2=9\end{cases}$
由于 $55,51$ 都是 $4N+3$ 形状的数，不能表为两个平方的和，并且 $9$ 也不能表成两个正整数的平方和，因此只有 $k=12$ 与 $k=16$ 时有正整数解 $m_1,n_1$．
当 $k=12$，由 $m_1^2+n_1^2=41$，得 $(m_1,n_1)=(4,5)$，则 $a=6m_1=24,b=6n_1=30,c=2k-1=23$，于是 $(a,b,c)=(24,30,23)$．
当 $k=16$，由 $m_1^2+n_1^2=29$，得 $(m_1,n_1)=(2,5)$，这时 $a=6m_1=12,b=6n_1=30,c=2k-1=31$，因此 $(a,b,c)=(12,30,31)$．
（ii）若 $3\nmid k(k-1)$ 时，由于任何三个连续数中必有一个是 $3$ 的倍数，则 $k+1$ 是 $3$ 的倍数，故 $k$ 被 $3$ 除余 $2$，因此 $k$ 只能取 $2,5,8,11,14,17,20$ 诸值．
利用 ① 式分别讨论如下：
若 $k=2$，则 $m_1^2+n_1^2=499$，而 $499\equiv 3\pmod{4}$，此时无解．
若 $k=5$，则 $m_1^2+n_1^2=481$，利用关系式
$(\alpha^2+\beta^2)(x^2+y^2)=(\alpha x+\beta y)^2+(\alpha y-\beta x)^2=(\alpha x-\beta y)^2+(\alpha y+\beta x)^2$
可知 $481=13\times 37=(3^2+2^2)(6^2+1^2)=20^2+9^2=16^2+15^2$．
所以 $(m,n)=(9,20)$ 或 $(15,16)$．
于是得到两组解 $(a,b,c)=(2m,2n,2k-1)=(18,40,9)$ 或 $(30,32,9)$．
若 $k=8$，则 $m_1^2+n_1^2=445$，而 $445=5\times 89=(2^2+1^2)(8^2+5^2)=21^2+2^2=18^2+11^2$．所以 $(m,n)=(2,21)$ 或 $(11,18)$，得两组解 $(a,b,c)=(2m,2n,2k-1)=(4,42,15)$ 或 $(22,36,15)$．
若 $k=11$，有 $m_1^2+n_1^2=391$，而 $391\equiv 3\pmod{4}$，此时无解．
若 $k=14$，有 $m_1^2+n_1^2=319$，而 $319\equiv 3\pmod{4}$，此时无解．
若 $k=17$，有 $m_1^2+n_1^2=229$，而 $229=15^2+2^2$，得 $(m,n)=(2,15)$，得一组解 $(a,b,c)=(2m,2n,2k-1)=(4,30,33)$．
若 $k=20$，有 $m_1^2+n_1^2=121=11^2$，而 $11^2$ 不能表示两个正整数的平方和，因此本题共有 $7$ 组解为：$(23,24,30),(12,30,31),(9,18,40),(9,30,32),(4,15,42),(15,22,36),(4,30,33)$．
经检验，它们都满足方程．
答案
解析
备注
