试求满足方程 $x^2-2xy+126y^2=2009$ 的所有整数对 $(x,y)$．
【难度】
【出处】
2009中国东南数学奥林匹克试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
设整数对 $(x,y)$ 满足方程 $x^2-2xy+126y^2=2009$ ①
将其看作关于 $x$ 的一元二次方程，其判别式
$\Delta=4y^2-4\times(126y^2-2009)=500(4^2-y^2)+36$
的值应为一完全平方数．
若 $y^2>4^2$，则 $\Delta<0$；
若 $y^2<4^2$，则 $y^2$ 可取 $0,1^2,2^2,3^2$，相应的 $\Delta$ 值分别为 $8036,7536,6036$ 和 $3536$，它们皆不为平方数；因此，仅当 $y^2=4^2$ 时，$\Delta=500(4^2-y^2)+36=6^2$ 为完全平方数．
若 $y=4$，方程 ① 化为 $x^2-8x+7=0$，解得 $x=1$ 或 $x=7$；
若 $y=-4$，方程 ① 化为 $x^2+8x+7=0$，解得 $x=-1$ 或 $x=-7$．
综上可知，满足原方程的全部整数对为：
$(x,y)=(1,4),(7,4),(-1,-4),(-7,-4)$．
将其看作关于 $x$ 的一元二次方程，其判别式
$\Delta=4y^2-4\times(126y^2-2009)=500(4^2-y^2)+36$
的值应为一完全平方数．
若 $y^2>4^2$，则 $\Delta<0$；
若 $y^2<4^2$，则 $y^2$ 可取 $0,1^2,2^2,3^2$，相应的 $\Delta$ 值分别为 $8036,7536,6036$ 和 $3536$，它们皆不为平方数；因此，仅当 $y^2=4^2$ 时，$\Delta=500(4^2-y^2)+36=6^2$ 为完全平方数．
若 $y=4$，方程 ① 化为 $x^2-8x+7=0$，解得 $x=1$ 或 $x=7$；
若 $y=-4$，方程 ① 化为 $x^2+8x+7=0$，解得 $x=-1$ 或 $x=-7$．
综上可知，满足原方程的全部整数对为：
$(x,y)=(1,4),(7,4),(-1,-4),(-7,-4)$．
答案
解析
备注
