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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
19690 5d197317210b28021fc77b02 高中 解答题 自招竞赛 已知 $p$ 和 $q$ 是两个互素的正整数．求证：对任意实数 $x$，如下不等式均成立 $|\sin (p q x) \cdot \sin (x)| \leqslant p q|\sin (p x) \cdot \sin (q x)|$ 2022-04-17 19:50:52
19685 5d15efd5210b28021fc77ac6 高中 解答题 自招竞赛 求证：对于任意给定的正整数 $m、n$，总存在无穷多组互质的正整数 $a、b$，使得 $(a+b) |\left(a m^{a}+b n^{b}\right)$． 2022-04-17 19:46:52
19670 5d19af50210b280220ed52da 高中 解答题 自招竞赛 证明：对于任意实数 $M>2$，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列 $a_1 ,a_2,\cdots$：
（1）对每个正整数 $i$，有 $a_i>M^i$；
（2）当且仅当整数 $ n\ne 0 $ 时，存在正整数 $ m $ 以及 $ b_{1},b_{2},\cdots,b_{m} \in\{-1,1\} $，使得 $ n=b_{1} a_{1}+b_{2} a_{2}+\cdots+b_{m} a_{m}$．		 2022-04-17 19:38:52
19668 5d19d2e0210b28021fc77c01 高中 解答题 自招竞赛 设 $n$ 为无平方因子的正偶数，$k$ 为整数，$p$ 为质数，满足 $p<2 \sqrt{n}, p \not | n, p |\left(n+k^{2}\right)$
证明：$n$ 可以表示为 $ab+bc+ca$，其中，$a、b、c$ 为互不相同的正整数．		 2022-04-17 19:37:52
19662 5d1abc15210b280220ed53d1 高中 解答题 自招竞赛 对正整数 $n$ 及整数 $i(0\leqslant i\leqslant n)$，设 $\dbinom{i}{n}\equiv c(n,i)\pmod{2}(c(n,i)\in\{0,1\})$．记 $\displaystyle f(n, q)=\sum\limits_{i=0}^{n} c(n, i) q^{i}$．又设 $m, n, q \in \mathbf{N}_{+}$，且 $q+1$ 不是 $2$ 的方幂．证明：若 $f(m, q) | f(n, q)$，则对任意正整数 $r$ 有 $f(m, r) | f(n, r)$． 2022-04-17 19:34:52
19661 5d1abe44210b280220ed53e0 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $m、n$．求具有下述性质的最小整数 $N(N\geqslant m)$：若一个 $N$ 元整数集含有模 $m$ 的完全剩余系，则其有一个非空子集，其元素和被 $n$ 整除． 2022-04-17 19:33:52
19654 5d1b1cd7210b280220ed54c4 高中 解答题 自招竞赛 对大于 $1$ 的整数 $n$，定义集合 $D(n)=\{a-b|{n}=a b, a, b \in \mathbb{Z}_{+}, a>b \}$
证明：对任意大于 $1$ 的整数 $k$，总存在 $K$ 个互不相同且大于 $1$ 的整数 $n_{1}, n_{2}, \cdots, n_{k}$ 使得 $D\left(n_{1}\right) \cap D\left(n_{2}\right) \cap \cdots \cap D\left(n_{k}\right)$ 的元素个数大于或等于 $2$．		 2022-04-17 19:30:52
19653 5d1b1e5a210b28021fc77d06 高中 解答题 自招竞赛 对整数 $n>1$，设 $n=p_{1}^{\alpha_{1}} p_{2}^{\alpha_{2}} \cdots p_{t}^{\alpha_{t}}$ 是 $n$ 的标准分解式，定义 $\omega(n)=t, \Omega(n)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{t}$．
是否对任意给定的正整数 $k$ 及正实数 $\alpha,\beta$，总存在整数 $n > 1$，使得 $\dfrac{\omega(n+k)}{\omega(n)}>\alpha, \dfrac{\Omega(n+k)}{\Omega(n)}<\beta ?$
证明你的结论．		 2022-04-17 19:30:52
19647 5d1c4e72210b28021fc77dcc 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $n\geqslant 5$．求最小的整数 $m$，使得存在两个由整数构成的集合 $A、B$，同时满足下列条件：
（1）$|A|=n,|B|=m, $ 且 $ A \subseteq B$；
（2）对集合 $B$ 中任意两个不同元素 $x,y$，有 $x+y \in B$ 当且仅当 $x, y \in A$．		 2022-04-17 19:27:52
19646 5d1c5251210b28021fc77dd4 高中 解答题 自招竞赛 求具有下述性质的所有整数 $k$：存在无穷多个正整数 $n$，使得 $(n+k) \nmid C_{2 n}^{n}$． 2022-04-17 19:27:52
19639 5d1d7124210b280220ed5687 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 为奇素数，$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{p}$ 为整数．证明以下两个命题等价：
（1）存在一个次数不超过 $\dfrac{p-1}{2}$ 的整系数多项式 $f(x)$，使得对每个不超过 $p$ 的正整数 $i$，均有 $f(i) \equiv a_{i}(\bmod p)$．
（2）对每个不 超过 $\dfrac{p-1}{2}$ 的正整数 $d$，均有 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{p}\left(a_{i+d}-a_{i}\right)^{2} \equiv 0(\bmod p)$，其中，下标按模 $p$ 理解，即 $a_{p+n}=a_{n}$．		 2022-04-17 19:24:52
19638 5d1d729d210b28021fc77ec5 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $n\geqslant 3$，不超过 $n$ 的素数共有 $k$ 个．设 $A$ 为集合 $\{2,3,\cdots ,n\}$ 的子集，$A$ 的元素个数小于 $k$，且 $A$ 中任意一个数不是另一个数的倍数．证明：存在集合 $\{2,3,\cdots,n\}$ 的 $k$ 元子集 $B$，使得 $B$ 中任意一个数也不是另一个数的倍数，且 $B$ 包含 $A$． 2022-04-17 19:24:52
19588 5d1dd4f4210b280220ed57d2 高中 解答题 自招竞赛 设整数 $n\geqslant 2$．对于 $1,2,\cdots ,n$ 的任意两个排列 $\alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right), \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)$，若存在正整数 $k \leqslant n$，使得
$b_{i}=\left\{\begin{array}{ll}{a_{k+1-i},} & {1 \leqslant i \leqslant k} \\ {a_{i},} & {k+1 \leqslant i \leqslant n}\end{array}\right.$
则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 互为翻转．证明：可以把 $1,2,\cdots ,n$ 的所有排列适当记为 $P_1,P_2,\cdots ,P_m$，使得对于每个 $i=1,2,\cdots ,m$，$P_i$ 与 $P_{i+1}$ 互为翻转，其中，$m=n!$ 且规定 $P_{m+1}=P_{1}$．		 2022-04-17 19:55:51
19587 5d1dd5ac210b28021fc77fcb 高中 解答题 自招竞赛 用 $D_n$ 表示正整数 $n$ 的所有正约数构成的集合．求所有正整数 $n$，使得 $D_n$ 可以写成两个不相交的子集 $A$ 和 $G$ 的并，且满足：子集 $A、G$ 均至少含有三个元素，子集 $A$ 中元素可以排列成一个等差数列，且子集 $G$ 中元素可以排列成一个等比数列． 2022-04-17 19:54:51
19585 5d22cc2e210b280220ed5a1d 高中 解答题 自招竞赛 对正整数 $n$，定义 $A_n$ 为具有如下性质的所有素数 $p$ 构成的集合：存在正整数 $a、b$，使得 $\dfrac{a+b}{p}, \dfrac{a^{n}+b^{n}}{p^{2}}$ 均为与 $p$ 互素的整数．当 $A_n$ 为有限集（包括空集）时，用 $f(n)$ 表示 $A_n$ 的元素个数．证明：
（1）$A_n$ 是有限集的充分必要条件为 $n\ne 2$；
（2）若 $ k、m $ 为正奇数，$ d $ 为 $ k $ 与 $ m $ 的最大公约数，则 $ f(d)\leqslant f(k)+f(m)-f(k m)\leqslant 2 f(d)$ ①		 2022-04-17 19:53:51
19583 5d22ce04210b280220ed5a25 高中 解答题 自招竞赛 设正整数 $q$ 不为完全立方数证明：存在正实数 $c$，使得对任意正整数 $n$，均有 $\left\{n q^{\frac{1}{3}}\right\}+\left\{n q^{\frac{2}{3}} \right\} \geqslant c n^{-\frac{1}{2}}$，其中，$\{x\}$ 表示实数 $x$ 的小数部分． 2022-04-17 19:51:51
19577 5ca5d86b210b28107f52abd5 高中 解答题 自招竞赛 若正整数 $a,b,c$ 是一个直角三角形的三边长，则称三元集合 $\{a,b,c\}$ 为勾股三元组，求证：对任意勾股三元组 $P,Q$，存在正整数 $m\geqslant 2$ 勾股三元组 $P_1,P_2,\cdots,P_m$ 使得 $P=P_1$，$Q=P_m$，且任意 $1\leqslant i\leqslant m-1$，$P_i\bigcap P_{i+1}\not=\varnothing$． 2022-04-17 19:47:51
19539 5d283c76210b28021fc78595 高中 解答题 自招竞赛 设 $Q$ 是有理数集，$Z$ 是整数集．在坐标平面上，对正整数 $m$，定义点集：$A_{m}=\left\{(x, y) | x, y \in \mathbf{Q}, x y \neq 0, \dfrac{x y}{m} \in \mathbf{Z}\right\}$．
对线段 $MN$，定义 $f_m(MN)$ 为线段 $MN$ 上属于集合 $A_m$ 的点的个数．
求最小的实数 $\lambda$，使得对坐标平面上的任意直线 $l$，均存在与 $l$ 有关的 实数 $\beta(l)$，满足：对直线 $l$ 上任意两点 $M、N$，都有 $f_{2016}(M N) \leqslant \lambda f_{2015}(M N)+\beta(l)$．		 2022-04-17 19:29:51
19536 5d255282210b280220ed5be2 高中 解答题 自招竞赛 （1）求所有正整数 $n$，使得对任意奇数 $a$，有 $4$ 整除 $a^n-1$．
（2）求所有正整数 $n$，使得对任意奇数 $a$，有 $2^{2017}$ 整除 $a^n-1$．		 2022-04-17 19:28:51
19535 5d2be5d8210b280220ed5fe1 高中 解答题 自招竞赛 已知质数 $ p$ 和正整数 $n$ 满足：$\prod_{k=1}^{n}\left(k^{2}+1\right)$ 能被 $p^2$ 整除，求证：$p < 2n$． 2022-04-17 19:27:51
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