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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
12765 599165c22bfec200011e0427 高中 填空题 高考真题 如图，在边长为 ${\mathrm{e}}$（${\mathrm{e}}$ 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 ． 2022-04-16 22:09:43
12758 599165c02bfec200011dff25 高中 填空题 高考真题 正方形的四个顶点 $A\left( { - 1, - 1} \right),B\left( {1, - 1} \right),C\left( {1,1} \right),D\left( { - 1,1} \right)$ 分别在抛物线 $y = - {x^2}$ 和 $y = {x^2}$ 上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形 $ABCD$ 中，则质点落在阴影区域的概率是 ． 2022-04-16 22:06:43
12742 599165c02bfec200011dfd8c 高中 填空题 高考真题 曲线 $y = {{\mathrm{e}}^{ - 5x}} + 2$ 在点 $\left(0,3\right)$ 处的切线方程为 ． 2022-04-16 22:57:42
12728 599165c72bfec200011e1297 高中 填空题 高考真题 设函数 $f\left( x \right)$ 在 $\left( {0, + \infty } \right)$ 内可导，且 $f\left( {{{\mathrm{e}}^x}} \right) = x + {{\mathrm{e}}^x}$，则 $f'\left( 1 \right) = $  ． 2022-04-16 22:48:42
12714 599165c62bfec200011e0eca 高中 填空题 高考真题 当 $x \in {\mathbb{R}},\left| x \right| < 1$ 时，有如下表达式：$1 + x + {x^2} + \cdots + {x^n} + \cdots = \dfrac{1}{1 - x}$．两边同时积分得：${\int_0^{\frac{1}{2}}} {1{\mathrm{d}}x + } \int_0^{\frac{1}{2}} {x{\mathrm{d}}x + } \int_0^{\frac{1}{2}} {{x^2}{\mathrm{d}}x + } \cdots+ \int_0^{\frac{1}{2}} {{x^n}{\mathrm{d}}x + } \cdots =\int_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{1}{1 - x}{\mathrm{d}}x} $，从而得到如下等式：$1 \times \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \times {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{3} \times {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^3} + \cdots + \dfrac{1}{n + 1} \times {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n + 1}} + \cdots = \ln 2.$
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
${\mathrm{C}}_n^0 \times \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}{\mathrm{C}}_n^1 \times {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{1}{3}{\mathrm{C}}_n^2 \times {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^3} + \cdots + \dfrac{1}{n + 1}{\mathrm{C}}_n^n \times {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n + 1}} =$  ．		 2022-04-16 22:40:42
12710 599165c52bfec200011e0e41 高中 填空题 高考真题 若 $\int_0^T {x^2} {\mathrm{d}}x = 9$，则常数 $ T $ 的值为  ． 2022-04-16 22:38:42
11263 5e49f9f6210b280d37822068 高中 填空题 高考真题 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A$ 在曲线 $y=\ln x$ 上，且该曲线在点 $A$ 处的切线经过点 $(-e,-1)$（$e$ 为自然对数的底数），则点 $A$ 的坐标是 ． 2022-04-16 22:30:29
11262 599165bf2bfec200011dfbc8 高中 填空题 高考真题 设曲线 $y={\mathrm e}^x$ 在点 $\left(0,1\right)$ 处的切线与曲线 $y=\dfrac 1x\left(x>0\right)$ 上点 $P$ 处的切线垂直，则 $P$ 的坐标为 ． 2022-04-16 22:29:29
4631 590971d939f91d000a7e44d1 高中 选择题 高中习题 已知函数 $f(x)=2x-\dfrac{x^2}{\pi}+\cos x$．设 $x_1,x_2\in (0,\pi)$，$x_1\neq x_2$ 且 $f(x_1)=f(x_2)$．若 $x_1,x_0,x_2$ 成等差数列，则 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:10:36
4625 59c70f9f778d470007d0f1f7 高中 选择题 高中习题 已知 $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$，$x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，则 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:06:36
3707 59cc90cf1d3b2000088b6e0f 高中 选择题 高中习题 已知 $x_1^2\ln x_1=x_2^2\ln x_2$，且 $x_1<x_2$，若整数 $k=\dfrac 52\left(x_1^2+x_2^2+2x_1x_2\right)$，则 $k$ 的值是 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:30:27
2624 5a3df863fab70800079178d2 高中 选择题 自招竞赛 已知 $f(x)=x\ln x$，$f(x_1)=f(x_2)$ 且 $x_1\ne x_2$，则 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:24:17
1771 5e65b0d7210b280d361117f5 高中 选择题 高考真题 已知曲线 $y=ae^x+x\ln x$ 在点 $(1,ae)$ 处的切线方程为 $y=2x+b$，则 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:37:09
1755 5e61b0be210b280d378224d5 高中 选择题 高考真题 曲线 $y=2\sin x+\cos x$ 在点 $(\pi,-1)$ 处的切线方程为 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:28:09
1713 5e5481cb210b280d361114a4 高中 选择题 高考真题 已知 $a\in\mathbb{R}$，设函数 $f(x)=\begin{cases}x^2-2ax+2a,&&x\leqslant 1\\x-a\ln x,&&x>1\end{cases}$ 若关于 $x$ 的不等式 $f(x)\geqslant 0$ 在 $\mathbb{R}$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围为 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:07:09
1645 599165ca2bfec200011e1c96 高中 选择题 高考真题 若 $x=-2$ 是函数 $f(x)=(x^{2}+ax-1){\rm e}^{x-1}$ 的极值点，则 $f(x)$ 的极小值为  \((\qquad)\) 2022-04-15 20:30:08
1636 599165ca2bfec200011e1c50 高中 选择题 高考真题 已知函数 $f(x)=x^2-2x+a(\mathrm e^{x-1}+\mathrm e^{-x+1})$ 有唯一的零点，则 $a=$  \((\qquad)\) 2022-04-15 20:25:08
1616 599165ca2bfec200011e1b3d 高中 选择题 高考真题 已知当 $x\in[0,1]$ 时，函数 $y=(mx-1)^{2}$ 的图象与 $y=\sqrt x +m$ 的图象有且只有一个交点，则正实数 $m$ 的取值范围是 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:13:08
1609 599165ca2bfec200011e1aa8 高中 选择题 高考真题 函数 $y=f(x)$ 的导函数 $y=f'(x)$ 的图象如图所示，则函数 $y=f(x)$ 的图象可能是  \((\qquad)\)   2022-04-15 20:11:08
1589 599165c92bfec200011e1935 高中 选择题 高考真题 在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_n=\left(-\dfrac12\right)^n,n\in\mathbb N^*$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}$  \((\qquad)\) 2022-04-15 20:00:08
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