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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20959 5c6f5a56210b280151d74969 高中 解答题 自招竞赛 除了开头的两项以外，数列的每一项按1000，$x$，$1000-x$，…的顺序排列，其排列规律是：第 $n$ 项为第 $n-2$ 与第 $n-1$ 项之差．若这个数列的最后一项是第一次出现负数的项，那么当 $x$ 为多大的正整数时，这个数列的长度最大？ 2022-04-17 20:31:04
20955 5c6f5a8b210b280151d74984 高中 解答题 自招竞赛 若 $\left\{ {{a}_{1}} {{a}_{2}} \cdots {{a}_{n}} \right\}$ 是一个实数集，且 ${{a}_{1}}<{{a}_{2}}<\cdots <{{a}_{n}}$，它的复合乘幂和被定义为
${{a}_{1}}\text{i}+{{a}_{2}}{{\text{i}}^{2}}+{{a}_{3}}{{\text{i}}^{3}}+\cdots +{{a}_{n}}{{\text{i}}^{n}}$，其中 ${{\text{i}}^{2}}=-1$．设 ${{S}_{n}}$ 表示数列 $\left\{ 1 ,2 ,\cdots, n \right\}$ 的所有非空子集的复合乘幂的总和．已知 ${{S}_{8}}=-176-64\text{i}$，${{S}_{9}}=p+q\text{i}$，其中 $p$，$q$ 均为整数，求 $\left| p \right|+\left| q \right|$．		 2022-04-17 20:30:04
20952 5c6f5a60210b280151d7496e 高中 解答题 自招竞赛 两位数学家每天早上都会抽空出来喝咖啡，他们每天都在早上9点至10点中的任一时刻只身到达自助餐厅，并呆上整整 $m$ 分钟．两人在自助餐厅里碰面的概率是 $40%$，令 $m=a-b\sqrt{c}$，其中 $a$，$b$，$c$ 为正整数，$c$ 不能被任何素数的平方整除．求 $a+b+c$． 2022-04-17 20:29:04
20951 5c6f62b7210b2801505273bb 高中 解答题 自招竞赛 求满足下列条件的最小素数：它是一个等差递增数列的第五项，且前四项均为素数． 2022-04-17 20:29:04
20929 5c6f8b0e210b280151d74a24 高中 解答题 自招竞赛 $a$，$b$ 为互素的正整数且它们都是1000的因数，设 $S$ 为所有满足上述条件的 $\frac{a}{b}$ 的总和，求不超过 $\frac{S}{10}$ 的最大的整数． 2022-04-17 20:18:04
20911 5c78e954210b28428f14cfa1 高中 解答题 自招竞赛 每个正整数 $k$ 有唯一的“阶乘表示法”表示为 $\left( {{f}_{1}} {{f}_{2}} \cdots {{f}_{m}} \right)$，这些 ${{f}_{i}}$ 满足
$k=1!\cdot {{f}_{1}}+2!\cdot {{f}_{2}}+\cdots +m!\cdot {{f}_{m}}$，
且每个 ${{f}_{i}}$ 都是整数，$0\leqslant {{f}_{i}}\leqslant i$，$0\leqslant {{f}_{m}}$．已知 $\left( {{f}_{1}} {{f}_{2}} \cdots {{f}_{j}} \right)$ 是
$16!-32!+48!-64!+\cdots +1968!-1984!+2000!$
的阶乘表示法的表示方式．求 ${{f}_{1}}-{{f}_{2}}+{{f}_{3}}-{{f}_{4}}+\cdots +{{\left( -1 \right)}^{j-1}}{{f}_{j}}$．		 2022-04-17 20:08:04
20880 5c6fa063210b28428f14c8f5 高中 解答题 自招竞赛 考虑这样一个数列 ${{a}_{k}}=\frac{1}{{{k}^{2}}+k}$，其中 $k\geqslant 1$．若 ${{a}_{m}}+{{a}_{m+1}}+\cdots +{{a}_{n-1}}=\frac{1}{29}$，其中 $m$，$n$ 为正整数，且 $m<n$．求 $m+n$ 的值． 2022-04-17 20:53:03
20876 5c6fa089210b284290fc213c 高中 解答题 自招竞赛 求最小的整数 $k$，使得至少有两个数列满足下列条件：
（1）${{a}_{1}}$，${{a}_{2}}$，${{a}_{3}}$，…是不减的正整数数列；
（2）${{a}_{n}}={{a}_{n-1}}+{{a}_{n-2}}$，$n>2$；
（3）${{a}_{9}}=k$．		 2022-04-17 20:51:03
20861 5c6fb66a210b28428f14c96a 高中 解答题 自招竞赛 用 $S$ 表示集合 $\left\{ 1,2,3,\cdots,10 \right\}$．设 $n$ 为 $S$ 中非空互斥子集的对数．（互斥集合定义为没有共同元素的两个集合．）试求 $n$ 被1000整除所得的余数． 2022-04-17 20:41:03
20848 5c749dbc210b28428f14cadf 高中 解答题 自招竞赛 4个递增正整数，前3个形成等差数列，后3个形成等比数列，第1个与第4个相差30，求4个数之和． 2022-04-17 20:35:03
20843 5c749df0210b284290fc2268 高中 解答题 自招竞赛 在不大于2003的正整数中，二进制表示下1比0多的数有 $m$ 个，求 $m$ 的后三位． 2022-04-17 20:31:03
20835 5c74ab9a210b284290fc22b4 高中 解答题 自招竞赛 数列 $1440 ,1916, 1848 ,\cdots $ 是由两个等差数列将对应项相乘而得，求此数列的第8项． 2022-04-17 20:27:03
20829 5c74b7ef210b284290fc230d 高中 解答题 自招竞赛 十进制下的四位正整数 $n$ 是由四个连续的整数按从左到右递减顺序排列而成，求 $n$ 被 $37$ 除时所有可能的余数之和。 2022-04-17 20:25:03
20821 5c74b831210b28428f14cb8c 高中 解答题 自招竞赛 令 $S$ 是满足 $0\leqslant x\leqslant 1$，$0\leqslant y\leqslant 1$，且 $\left[ {{\log }_{2}}\left( \frac{1}{x} \right) \right]$ 与 $\left[ {{\log }_{5}}\left( \frac{1}{y} \right) \right]$ 均为偶数的坐标 $\left( x, y \right)$ 组成的集合。
假设集合 $S$ 表示的图形面积为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，求 $m+n$ 。 $\left[ z \right]$ 表示小于或等于实数 $z$ 的最大整数。		 2022-04-17 20:21:03
20819 5c74b845210b28428f14cb92 高中 解答题 自招竞赛 定义在正整数集上的函数 $f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}
& 1,x=1 \\
& x/10,x被10整除 \\
& x+1,其他 \\
\end{align} \right.$ 对于任意正整数 $x$，我们定义数列 $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$
如下：${{x}_{1}}=x,{{x}_{n+1}}=f\left( {{x}_{n}} \right),n\in {{N}^{+}}$ 。定义 $d\left( x \right)$ 为满足 ${{x}_{n}}=1$ 的最小的 $n$ 。例如，$d\left( 100 \right)=3 d\left( 87 \right)=7$ 。设 $m$ 是满足 $d\left( x \right)=20$ 的正整数 $x$ 的个数，求 $m$ 的所有不同素因数之和。		 2022-04-17 20:20:03
20810 5c74d639210b28428f14cbc7 高中 解答题 自招竞赛 正数数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 满足 ${{a}_{1}}=1$ 及 ${{a}_{9}}+{{a}_{10}}=646$ 。对所有的整数 $k\geqslant 1$，${{a}_{2k-1}} {{a}_{2k}} {{a}_{2k+1}}$ 成等比数列，${{a}_{2k}} {{a}_{2k+1}} {{a}_{2k+2}}$ 成等差数列。设 ${{a}_{n}}$ 为此数列中小于 $1000$ 的最大项，试求 $n+{{a}_{n}}$ 的值。 2022-04-17 20:13:03
20803 5c74dd82210b28428f14cbf2 高中 解答题 自招竞赛 对每个正整数 $k$，用 ${{S}_{k}}$ 表示首项为1公差为 $k$ 的等差数列，例如，${{S}_{3}}$ 为1，4，7，…，问：有多少个 $k$ 值使得2005在 ${{S}_{k}}$ 中？ 2022-04-17 20:10:03
20789 5c74ea36210b28428f14cc2c 高中 解答题 自招竞赛 一无穷等比数列 $\left| {{a}_{n}} \right|$ 的所有项之和为2005，数列 $\left| {{b}_{n}} \right|$ 的各项为 $\left| {{a}_{n}} \right|$ 各项的平方，它的所有项之和等于 $\left| {{a}_{n}} \right|$ 所有项之和的10倍。设 $\left| {{a}_{n}} \right|$ 的公比为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是互素的正整数，试求 $m+n$ 。 2022-04-17 20:02:03
20783 5c74ea8a210b284290fc23e7 高中 解答题 自招竞赛 设 $m$ 为正整数，$\left\{ {{a}_{0}}, {{a}_{1}}, \ldots ,{{a}_{m}} \right\}$ 为实数数列，满足 ${{a}_{0}}=37$，${{a}_{1}}=72$，${{a}_{m}}=0$，${{a}_{k+1}}={{a}_{k-1}}-\frac{3}{{{a}_{k}}}$，$k=1 2 \ldots m-1$ 。试求 $m$ 。 2022-04-17 20:58:02
20771 5c74fea7210b284290fc243a 高中 解答题 自招竞赛 数列 ${{a}_{1}}, {{a}_{2}} ,\ldots $ 是等比数列，其中 ${{a}_{1}}=a$，公比为 $r$，$\left( a ,r是正整数 \right)$，已知 ${{\log }_{8}}{{a}_{1}}+{{\log }_{8}}{{a}_{2}}+\ldots +{{\log }_{8}}{{a}_{12}}=2006$，试求有序数对 $\left( a ,r \right)$ 的数目。 2022-04-17 20:52:02
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