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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
8631 59b73168b049650007283176 高中 填空题 自招竞赛 正三棱锥 $P-ABC$ 中，$AB=1,AP=2$，过 $AB$ 的平面 $\alpha$ 将其体积平分，则棱 $PC$ 与平面 $\alpha$ 所成角的余弦值为  ． 2022-04-16 22:45:01
8629 59b7319eb049650008cb66d4 高中 填空题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$M$ 是边 $BC$ 的中点，$N$ 是线段 $BM$ 的中点．若 $A=\dfrac{\pi}{3}$，$\triangle ABC$ 的面积为 $\sqrt3$，则 $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}$ 的最小值为 ． 2022-04-16 22:44:01
8607 59083971060a05000980b01c 高中 填空题 高中习题 已知 $\triangle ABC$ 内一点 $P$ 满足 $\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$，则 $\triangle PBC$ 的面积与 $\triangle ABC$ 的面积之比是 ． 2022-04-16 22:32:01
8606 59084297060a050008e6228f 高中 填空题 高中习题 设 $\odot O$ 为不等边 $\triangle ABC$ 的外接圆，$\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对边的长分别为 $a,b,c$，$P$ 是 $\triangle ABC$ 所在平面内的一点，且$$\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\dfrac{c}{b}\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PC}+\dfrac{b-c}{b}\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PA}(P\neq A),$$$Q $ 为 $ \triangle ABC $ 所在平面外一点，$ QA=QB=QC$．有下列命题：
① 若 $QA=QP$，$\angle BAC=90^\circ$，则点 $Q$ 在平面 $ABC$ 上的射影恰在直线 $AP$ 上；
② 若 $QA=QP$，则 $\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{PC}$；
③ 若 $QA > QP$，$\angle BAC=90^\circ$，则 $\dfrac{{BP}}{{CP}}=\dfrac{{AB}}{{AC}}$；
④ 若 $QA > QP$，则 $P$ 在 $\triangle ABC$ 内部的概率为 $\dfrac{{{S_{\triangle ABC}}}}{{{S_{\odot O}}}}$（${S_{\triangle ABC}},{S_{\odot O}}$ 分别表示 $\triangle ABC$ 与 $\odot O$ 的面积）．
其中不正确的命题有 ．		 2022-04-16 22:31:01
8605 59084341060a050008e62299 高中 填空题 高中习题 设点 ${G_1},{G_2}$ 分别为 $\triangle{A_1}{B_1}{C_1}$ 和 $\triangle{A_2}{B_2}{C_2}$ 的重心，若 $\overrightarrow{{A_1}{A_2}}=\overrightarrow e_1$，$\overrightarrow{{B_1}{B_2}}=\overrightarrow e_2$，$\overrightarrow{{C_1}{C_2}}=\overrightarrow e_3$，则 $\overrightarrow{{G_1}{G_2}}=$  ． 2022-04-16 22:30:01
8604 590845b7060a05000a4a9897 高中 填空题 高中习题 已知 $\triangle ABC$ 中，$AB=2$，$AC=1$，$\angle BAC=120^\circ$，$O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，且 $\overrightarrow{AO}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，则 $m-n=$  ． 2022-04-16 22:30:01
8602 590846ea060a05000980b07d 高中 填空题 高中习题 若 $\left|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right|\leqslant 3$，则 $\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b$ 的最小值是 ． 2022-04-16 22:29:01
8601 59084770060a05000a4a98ac 高中 填空题 高中习题 已知 $\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$ 满足 $\left|\overrightarrow a\right|=5$，$\left|\overrightarrow b\right|\leqslant 1$，且 $\left|\overrightarrow a-4\overrightarrow b\right|\leqslant \sqrt{21}$，则 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b$ 的最小值是 ． 2022-04-16 22:28:01
8600 5908479e060a05000980b087 高中 填空题 高中习题 已知 $\triangle ABC$ 中，$\overrightarrow{CP}=\dfrac 12\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)$，$\left|\overrightarrow{CP}\right|=\dfrac 12\left|\overrightarrow{AB}\right|=1$．点 $Q$ 是线段 $AB$ 上一点，且 $\overrightarrow{CQ}\cdot\overrightarrow{CP}=\dfrac 12$，则 $\left|\overrightarrow{CQ}\right|$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 22:27:01
8598 590849db060a05000980b0a0 高中 填空题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为边 $AC$ 上一点，$AB=AC=6$，$AD=4$，若 $\triangle ABC$ 的外心 $O$ 恰在线段 $BD$ 上，则 $BC=$  ． 2022-04-16 22:26:01
8597 590849fc060a050008e622e6 高中 填空题 高中习题 $\triangle ABC$ 中，$BC$ 边上的中垂线分别交 $BC,AC$ 于 $D,M$．若 $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}=6$，$AB=2$，则 $AC=$  ． 2022-04-16 22:25:01
8595 59093058060a05000b3d1ed4 高中 填空题 高中习题 设 $D$ 为不等式组 $\begin{cases}x+y\leqslant 1,\\2x-y\geqslant -1,\\x-2y\leqslant 1,\end{cases}$ 表示的平面区域，点 $B(a,b)$ 为坐标平面 $xOy$ 内的一点，若对于区域 $D$ 内的任一点 $A(x,y)$，都有 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\leqslant 1$ 成立，则 $a+b$ 的最大值是 ． 2022-04-16 22:24:01
8548 59094eb7060a05000b3d1fb5 高中 填空题 高中习题 已知 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心，$AB=6$，$AC=10$，$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，且 $2x+10y=5$，则 $\cos\angle BAC$ 的值是 ． 2022-04-16 22:56:00
8529 590a83eb6cddca00078f380e 高中 填空题 高中习题 已知单位向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c,\overrightarrow x$，且 $\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c=\overrightarrow 0$，设$$y=\Big|\overrightarrow a-\overrightarrow x\Big|+\Big|\overrightarrow b-\overrightarrow x\Big|+\Big|\overrightarrow c-\overrightarrow x\Big|,$$则 $y$ 的最大值是 ． 2022-04-16 22:44:00
8514 590acc5a6cddca0008610eb0 高中 填空题 高中习题 已知 $\triangle ABC$ 的周长为 $6$，$a,b,c$ 分别为 $A,B,C$ 所对的边，且 $a,b,c$ 成等比数列，则 $\overrightarrow {BA}\cdot \overrightarrow {BC}$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 22:40:00
8507 590bd5136cddca00078f3a7d 高中 填空题 自招竞赛 如图，在平面四边形 $ABCD$ 中，$AC=l_1$，$BD=l_2$，则 $\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\right)=$  ． 2022-04-16 22:35:00
8501 590ae64e6cddca0008610f88 高中 填空题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，$AC=2AB=2$，$BC=\sqrt 3$，$P$ 是 $\triangle ABC$ 内部一点，记 $\triangle PAB,\triangle PBC,\triangle PCA$ 的面积分别为 $S_{\triangle PAB},S_{\triangle PBC},S_{\triangle PCA}$，且$$\dfrac{S_{\triangle PAB}}{\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}}=\dfrac{S_{\triangle PBC}}{\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}}=\dfrac{S_{\triangle PCA}}{\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PA}},$$则 $PA+PB+PC=$  ． 2022-04-16 22:31:00
8498 590ae67b6cddca00078f3a31 高中 填空题 高中习题 已知向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 满足 $\Big|\overrightarrow a\Big|=1$，$\Big|\overrightarrow a-\overrightarrow b\Big|=\Big|\overrightarrow b\Big|$，$\left(\overrightarrow a-\overrightarrow c\right)\cdot \left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)=0$．对于确定的 $\overrightarrow b$，记 $\overrightarrow c$ 的长度的最大值和最小值分别为 $m,n$，则当 $\overrightarrow b$ 变化时，$m-n$ 的最小值是 ． 2022-04-16 22:30:00
8465 590c27e8857b4200092b0675 高中 填空题 高中习题 如图，两个正三角形 $ABC,A_1B_1C_1$ 组成"六芒星"，$O$ 为"六芒星"的中心，$P$ 为"六芒星"图案上一点（边界上），且 $\overrightarrow {OP}=x\overrightarrow {OD}+y\overrightarrow{OC_1}$，则 $x+y$ 的取值范围是 ． 2022-04-16 22:10:00
8445 59b62305b049650007283039 高中 填空题 高中习题 已知 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心，且 $\overrightarrow{BO}=\lambda\overrightarrow{BA}+\mu\overrightarrow{BC}$．
$(1)$ 若 $\angle C=90^\circ$，则 $\lambda+\mu=$  ；
$(2)$ 若 $\angle ABC=60^\circ$，则 $\lambda+\mu$ 的最大值为 ．		 2022-04-16 21:59:59
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