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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
26745 5912ad7ae020e70007fbee13 高中 解答题 自招竞赛 $x,y$ 为实数，且 $x+y=1$，求证：对于任意正整数 $n$，${{x}^{2n}}+{{y}^{2n}}\geqslant \dfrac{1}{{{2}^{2n-1}}}$； 2022-04-17 20:49:57
26729 5912b33de020e7000a798c3b 高中 解答题 自招竞赛 设 $a=\dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+\cdots +{{x}_{n}}}{n},n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$，且$${{S}_{n}}=\left( {{x}_{1}}-a \right)\left( {{x}_{2}}-a \right)+\left( {{x}_{2}}-a \right)\left( {{x}_{3}}-a \right)+\cdots +\left( {{x}_{n-1}}-a \right)\left( {{x}_{n}}-a \right)+\left( {{x}_{n}}-a \right)\left( {{x}_{1}}-a \right).$$ 2022-04-17 20:39:57
26713 5912bad5e020e70007fbee7f 高中 解答题 自招竞赛 设 $k \geqslant 9$，解方程 ${x^3} + 2k{x^2} + {k^2}x + 9k + 27 = 0$． 2022-04-17 20:30:57
26702 5912be0ce020e700094b0d87 高中 解答题 自招竞赛 证明：对 $\forall x , y \in {\mathbb{R}}$，有 ${x^2} + xy + {y^2} \geqslant 3\left( {x + y - 1} \right)$ 恒成立． 2022-04-17 20:25:57
26695 59140e310cbfff0007861110 高中 解答题 高中习题 已知 $a_k=\dfrac{2^k}{3^{2^k}+1}$，$k\in \mathbb{N}^{*}$，$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$，$T_n=a_1a_2\cdots a_n$，求 $\dfrac{S_9}{T_9}$ 的值． 2022-04-17 20:21:57
26577 591429e81edfe2000949ce6b 高中 解答题 高中习题 设 $a>b>c$，求证：$bc^2+ca^2+ab^2<b^2c+c^2a+a^2b$． 2022-04-17 20:19:56
26397 597ed3f1d05b9000091652ca 高中 解答题 高中习题 已知 ${a_n}={4^n}-{2^n}$，${T_n}=\dfrac{{{2^n}}}{{{a_1}+{a_2}+\cdots+{a_n}}}$．求证：$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n {{T_k}}<\dfrac{3}{2}$． 2022-04-17 20:35:54
26386 597edcb3d05b90000c80596d 高中 解答题 高中习题 设 $p , q$ 是一元二次方程 ${x^2} + 2ax - 1 = 0\left( {a > 0} \right)$ 的两个根，其中 $p > 0$．令 ${y_1} = p - q$，${y_{n + 1}} = y_n^2 - 2$，$n=1,2,\cdots$．证明：$\lim\limits_{n \to + \infty } \left( {\dfrac{1}{{{y_1}}} + \dfrac{1}{{{y_1}{y_2}}} + \cdot \cdot \cdot + \dfrac{1}{{{y_1}{y_2} \cdot \cdot \cdot {y_n}}}} \right) = p$． 2022-04-17 20:28:54
26367 597ee8c9d05b90000addb4d0 高中 解答题 高中习题 已知 $x,y,z>0$，求证：$x^xy^yz^z\geqslant x^yy^zz^x$． 2022-04-17 20:17:54
26357 597ef0f9d05b90000b5e32b6 高中 解答题 高中习题 已知 $x\geqslant y\geqslant z>0$，求证：$\dfrac{x^2y}{z}+\dfrac{y^2z}{x}+\dfrac{z^2x}{y}\geqslant x^2+y^2+z^2$． 2022-04-17 20:12:54
26262 59704d93dbbeff000aeab7e4 高中 解答题 高中习题 求方程 $(x+1)\left(x^2+1\right)\left(x^3+1\right)=30x^3$ 的所有实数根之和． 2022-04-17 20:22:53
26238 59706a6ddbbeff0009d29f21 高中 解答题 高中习题 设长方体的长、宽、高分别为 $a,b,c$，其体对角线长为 $l$，试证：$$\left(l^4-a^4\right)\left(l^4-b^4\right)\left(l^4-c^4\right)\geqslant 512a^4b^4c^4.$$ 2022-04-17 20:09:53
26228 59706a89dbbeff0009d29f27 高中 解答题 高中习题 已知正实数 $a,b,c$ 满足 $abc=1$，求证：$\displaystyle \prod\limits_{cyc}\left(a-1+\dfrac 1b\right)\leqslant 1$． 2022-04-17 20:04:53
26221 59706b69dbbeff000aeab850 高中 解答题 高中习题 已知 $abc=1$，且 $\begin{cases}\dfrac{by}{z}+\dfrac{cz}y=a,\\\dfrac{cz}{x}+\dfrac{ax}z=b,\\\dfrac{ax}y+\dfrac{by}x=c.\end{cases}$ 求 $a^3+b^3+c^3$ 的值． 2022-04-17 20:00:53
26217 59706b89dbbeff0009d29f30 高中 解答题 高中习题 已知 $x^2+y^2\leqslant 1$，求 $\left|x^2+2xy-y^2\right|$ 的最大值． 2022-04-17 20:58:52
26212 5983d66065a6ba000a5b34cb 高中 解答题 高中习题 解方程组 $\begin{cases}5\left(x+\dfrac 1x\right)=12\left(y+\dfrac 1y\right)=13\left(z+\dfrac 1z\right),\\xy+yz+zx=1.\end{cases}$ 2022-04-17 20:54:52
26209 59706e03dbbeff0009d29f4a 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c,d\in\mathbb R$，$a^2+b^2+c^2+d^2=1$，求证：$$(a+b)^4+(b+c)^4+(c+d)^4+(d+a)^4+(a+c)^4+(b+d)^4\leqslant 6.$$ 2022-04-17 20:53:52
26207 59706e19dbbeff0009d29f4e 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，求证：$\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geqslant \dfrac{a+b+c}{3}$． 2022-04-17 20:51:52
26098 5985574a5ed01a0008fa5e20 高中 解答题 高中习题 若正数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$，求证：$\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{c}{c^2+1}\leqslant\dfrac{9}{10}$． 2022-04-17 20:53:51
26088 597eefbed05b90000c8059ba 高中 解答题 高中习题 正数 $a , b , c$ 满足 $a < b + c$，求证：$\dfrac{a}{{a + 1}} < \dfrac{b}{{b + 1}} + \dfrac{c}{{c + 1}}$． 2022-04-17 20:49:51
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