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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
16011 5d5a1398210b28021fc79ca2 高中 解答题 高中习题 若正数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$，求证：$$\left(a+\dfrac{1}{a}\right)\left(b+\dfrac{1}{b}\right)\left(c+\dfrac{1}{c}\right)\geqslant\dfrac{1000}{27}.$$ 2022-04-17 19:56:18
16010 602f2d2825bdad000ac4d586 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c$ 为正实数，证明：$$\frac{9}{a+b+c}\leqslant 2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)$$． 2022-04-17 19:55:18
16009 6013e0ed25bdad0009f73ede 高中 解答题 高中习题 设非负实数 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 满足 $a_1^2+a_2^2+\ldots +a_n^2=n$，求证：$\displaystyle \sum^{n}_{i=1}\frac{1}{a_i^2+1}\leqslant \frac{n^2}{2(\sum^{n}_{i=1}a_i)^2}.$ 2022-04-17 19:55:18
16004 602f315925bdad000ac4d58d 高中 解答题 高中习题 已知 $a,b,c>0$，且 $ab+bc+ca=3$，求证：$$\frac{a+b^2c^2}{b+c}+\frac{b+c^2a^2}{c+a}+\frac{c+a^2b^2}{a+b}\geqslant3$$． 2022-04-17 19:53:18
15986 5927c8a750ce840009d77084 高中 解答题 高考真题 设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，已知 $a_{1}=a(a>3)$，$a_{n+1}=S_{n}+3^{n},n\in\mathbb N^{*}$． 2022-04-17 19:40:18
15954 600e6459ba458b0009a55e0a 高中 解答题 自招竞赛 设椭圆 $\frac{x^2}{1+\sin\alpha+\cos\alpha}+\frac{y^2}{\sin\alpha}=1$（$\alpha\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$）的右焦点为 $F$，经过坐标原点的直线与椭圆交于点 $A,B$． 2022-04-17 19:21:18
15899 604ae81095a31e00099cf22d 高中 解答题 自招竞赛 已知正实数 $x,y,z$ 满足 $3^x=4^y=6^z$．证明：$$5^{x-2}+25^{y-1}+5^{\frac{1-2z}{z}}>1.$$ 2022-04-17 19:53:17
15897 604ae82495a31e00099cf233 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足$$a_1=\frac{1}{2}, a_{n+1}=\frac{a_n}{(1-\sqrt{2})^{n+1}a_n+\sqrt{2}+1} (n=1,2,\ldots).$$试求 $\lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{a_n}$． 2022-04-17 19:52:17
15893 603f4c8425bdad000ac4d877 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f(x)=e^x-\cos x$（$x>0$），正数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，且当 $n\geqslant 2$ 时，有 $f(a_n)=a_{n-1}$．证明： 2022-04-17 19:50:17
15892 603f4cf125bdad0009f742cf 高中 解答题 自招竞赛 试求满足下述条件的所有实数对 $(x,y)$：$$\left\{\begin{aligned}
&x^2+y^2+x+y=xy(x+y)-\frac{10}{27},\\
&|xy|\leqslant \frac{25}{9}.\\
\end{aligned}\right.$$		 2022-04-17 19:49:17
15891 603f64a825bdad000ac4d8da 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=2,a_{n+1}=\frac{2a_n}{1+a_n}$（$n\in\mathbb{N^{\ast}}$）．试求最小的整数 $M$，使得对任意正整数 $n$，都有$$\sum^n_{i=1}a_i(a_i-1)<M.$$ 2022-04-17 19:48:17
15843 599165b52bfec200011ddce5 高中 解答题 高考真题 甲厂以 $x$ 千克 $ {/} $ 小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求 $1 \leqslant x \leqslant 10$），每小时可获得利润是 $100\left( {5x + 1 - \dfrac{3}{x}} \right)$ 元． 2022-04-17 19:25:17
15839 599165b52bfec200011ddce8 高中 解答题 高考真题 给定常数 $c > 0$，定义函数 $f\left(x\right) = 2\left| {x + c + 4} \right| - \left| {x + c} \right|$，数列 ${a_1},{a_2},{a_3},\cdots$ 满足 ${a_{n + 1}} = f\left({a_n}\right),n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$． 2022-04-17 19:23:17
15838 601b626325bdad0009f73f99 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ}, BC=1$．以 $A$ 为圆心，$AC$ 为半径画弧交 $AB$ 于点 $D$，在由弧 $\overrightarrow{CD}$ 与直线段 $BD,BC$ 所围成的区域内作内接正方形 $EFGH$，使得 $E$ 在弧 $\overrightarrow{CD}$ 上，$F$ 在 $BD$ 上，$G$ 和 $H$ 在 $BC$ 上．试问：当 $AC$ 的长为何值时，正方形 $EFGH$ 的面积最大？证明你的结论． 2022-04-17 19:22:17
15750 59083108060a05000bf2918c 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=1$，$a_2=2$，$a_{n+2}=a_n+a_{n+1}$（$n\in\mathbb N^*$），求证：$a_{n+1}^{\frac 1n}\geqslant 1+a_n^{-\frac 1n}$（$n\in\mathbb N^*$）． 2022-04-17 19:36:16
15747 5908616a060a050008e62324 高中 解答题 高中习题 已知过点 $A(1,1)$ 且斜率为 $k$（$k<0$）的直线与 $x,y$ 轴分别交于 $P,Q$，过 $P,Q$ 作直线 $2x+y=0$ 的垂线，垂足分别为 $R,S$，求四边形 $PRSQ$ 的面积的最小值． 2022-04-17 19:35:16
15744 59094a03060a05000b3d1f85 高中 解答题 自招竞赛 已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $1$，$D,E$ 分别是边 $AB,AC$ 上的点，$F$ 为线段 $DE$ 上的一点，设 $AD:AB=x, AE:AC=y, DF:DE=z$ 且 $y+z-x=1$．求 $\triangle BDF$ 的面积的最大值并求出此时 $x,y,z$ 的值． 2022-04-17 19:33:16
15725 59098ec738b6b400091effcf 高中 解答题 高中习题 证明排序不等式：若 $a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots \leqslant a_n$ 且 $b_1\leqslant b_2 \leqslant \cdots \leqslant b_n$，$b_1',b_2',\cdots ,b_n'$ 是 $b_1,b_2,\cdots ,b_n$ 的一个排列，则$$a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n\geqslant a_1b_1'+a_2b_2'+\cdots +a_nb_n'.$$ 2022-04-17 19:23:16
15712 590aa4f16cddca000a081944 高中 解答题 高中习题 设正数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 的和为 $S$，求证：$\displaystyle \sum_{i=1}^n\dfrac{a_i}{S-a_i}\geqslant \dfrac{n}{n-1}$． 2022-04-17 19:16:16
15656 59101e99857b4200092b0824 高中 解答题 自招竞赛 如图，${P_1}({x_1},{y_1})$，${P_2}({x_2},{y_2})$，$ \cdots $，${P_n}({x_n},{y_n})$，$(0 < {y_1} < {y_2} <\cdots< {y_n},n \in {\mathbb N^ * })$ 是曲线 $C:{y^2} = 3x (y \geqslant 0)$ 上的 $n$ 个点，点 $A_i({a_i},0) (i = 1,2,3, \cdots ,n)$ 在 $x$ 轴的正半轴上，$\Delta {A_{i - 1}}{A_i}{P_i}$ 是正三角形（${A_0}$ 是坐标原点）． 2022-04-17 19:43:15
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