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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
11557 598abce191e0350007fda028 高中 填空题 自招竞赛 已知 $MN$ 是边长为 $2\sqrt 6$ 的等边 $\triangle ABC$ 的外接圆的一条动弦，$MN=4$，$P$ 为 $\triangle ABC$ 的边上的动点，则 $\overrightarrow{MP}\cdot \overrightarrow{PN}$ 的最大值为 ． 2022-04-16 22:09:32
11552 598bfab9de229f0008daf5c7 高中 填空题 自招竞赛 设向量 $\overrightarrow a_1 = (1,5)$，$\overrightarrow a_2 = (4, -1)$，$ \overrightarrow a_3 =(2,1)$，$ \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 $ 都是非负实数，$ \lambda_1 + {\dfrac{\lambda_2}2}+{\dfrac{\lambda_3}3}=1 $，则 $ [\left|{\lambda_1 \overrightarrow a_1} + {\lambda_2 \overrightarrow a_2} + {\lambda_3 \overrightarrow a_3}\right|]$ 的最小值为 ，其中 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数． 2022-04-16 22:07:32
11533 59929c3b77d145000f32c30f 高中 填空题 自招竞赛 $O,A,B$ 是平面上不共线三点，向量 $\overrightarrow {OA}=\vec a,\overrightarrow {OB}=\vec b$，设 $P$ 为线段 $AB$ 垂直平分线上任意一点，向量 $\overrightarrow {OP}=\vec p$．若 $|\vec a|=5,|\vec b|=3,$ 则 $\vec p\cdot(\vec a-\vec b)$ 的值是 ． 2022-04-16 22:58:31
11510 5a004dc203bdb1000a37d007 高中 填空题 自招竞赛 设 $O$ 为 $\triangle ABC$ 内一点，则 $\overrightarrow {OA}\cdot\overrightarrow {BC}+\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{AB}=$  ． 2022-04-16 22:45:31
11503 5a26360bf25ac10009ad6eec 高中 填空题 自招竞赛 如图所示，在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC},\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{MD}$，过 $M$ 作直线交 $AB,AC$ 于 $P,Q$ 两点，则 $\dfrac{AB}{AP}+\dfrac{2AC}{AQ}=$  ． 2022-04-16 22:42:31
11495 5cb540a9210b280220ed1e1e 高中 填空题 自招竞赛 在矩形 $ABCD$ 中，已知 $AB=3$，$BC=1$，动点 $P$ 在边 $CD$ 上．设 $\angle PAB=\alpha$，$\angle PBA=\beta$，则 $\dfrac{\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}}{\cos \left( \alpha +\beta \right)}$ 的最大值为 2022-04-16 22:38:31
11478 5cb98ddb210b280220ed223e 高中 填空题 自招竞赛 如图，在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\dfrac{\pi}{2},AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $\overrightarrow{CP}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CP}\cdot\overrightarrow{CB}=$  ． 2022-04-16 22:28:31
11474 5cbd63f1210b28021fc759d2 高中 填空题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC=60^{\prime}$，$\angle BAC$ 的平分线 $AD$ 交 $BC$ 于 $D$，且有 $\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AB}$．若 $AB=8$，则 $AD^2=$  ． 2022-04-16 22:26:31
11443 5cce9d8f210b28021fc75df4 高中 填空题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB=4,AC=3$．如图所示，$P$ 是边 $BC$ 的垂直平分线上一点，$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AP}=-\frac{p}{q}$，其中 $p,q$ 是互质的正整数，则 $p+q=$  ． 2022-04-16 22:07:31
11439 5cd38e81210b280220ed2ab3 高中 填空题 自招竞赛 若边长为6的正 $\triangle ABC$ 的三个顶点，到平面 $a$ 的距离分别为 $1,2,3$，则 $\triangle ABC$ 的重心 $G$ 到平面 $a$ 的所有可能距离之和为 ． 2022-04-16 22:04:31
11419 5cde62ae210b280220ed3065 高中 填空题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$AB=5,AC=4$，且 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=12$．设 $P$ 为平面 $ABC$ 上的一点，$\overrightarrow{PA}\cdot(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC})$ 的最小值是 $-\frac{a}{b}$，其中 $a,b$ 是互质的正整数．则 $a+b=$  ． 2022-04-16 22:54:30
11406 5d4108f8210b28021fc7904c 高中 填空题 自招竞赛 $\triangle ABC$ 为斜边 $AB=\sqrt{2019}$ 的直角三角形，则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{B A}+\overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}=$  ． 2022-04-16 22:46:30
11393 59646e84e6a2e7000cc63b8f 高中 填空题 自招竞赛 已知向量 $\alpha$，$\beta$ 是平面内两个互相垂直的单位向量，且 $(3\alpha-\gamma)\cdot(4\beta-\gamma)=0$，则 $|\gamma|$ 的最大值是  ． 2022-04-16 22:38:30
763 590a7d0b6cddca0008610cec 高中 选择题 自招竞赛 已知 $O$ 为 $\triangle ABC$ 内一点，满足 $S_{\triangle AOB}:S_{\triangle BOC}:S_{\triangle COA}=4:3:2$．设 $\overrightarrow{AO}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$，则实数 $\lambda$ 和 $\mu$ 的值分别为 \((\qquad)\) 2022-04-15 20:13:00
742 590acc576cddca00092f6fea 高中 选择题 自招竞赛 $\triangle ABC$ 的三边长是 $2,3,4$，其外心为 $O$，则 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{CA}=$  \((\qquad)\) 2022-04-15 20:03:00
740 590acf316cddca00092f700b 高中 选择题 自招竞赛 设 $m,n$ 是大于零的实数，向量 $\overrightarrow{a}=(m\cos\alpha,m\sin\alpha)$，$\overrightarrow{b}=(n\cos\beta,n\sin\beta)$，其中 $\alpha,\beta\in [0,2\pi)$．定义向量 ${\overrightarrow a}^{\frac 12}=\left(\sqrt m\cos\dfrac{\alpha}2,\sqrt m\sin\dfrac{\alpha}2\right)$，${\overrightarrow b}^{\frac 12}=\left(\sqrt n\cos\dfrac{\beta}2,\sqrt n\sin\dfrac{\beta}2\right)$，记 $\theta=\alpha-\beta$，则  \((\qquad)\) 2022-04-15 20:02:00
732 590c2e40857b4200085f85b2 高中 选择题 自招竞赛 若向量 $\left| {\overrightarrow a } \right| = 1$，$\left| {\overrightarrow b } \right| = 2$，$\overrightarrow c = \overrightarrow a + \overrightarrow b $，且 $\overrightarrow c \perp \overrightarrow a $，则向量 $2\overrightarrow a - \overrightarrow b $ 与 $\overrightarrow b $ 的夹角为 \((\qquad)\) 2022-04-15 19:58:59
703 59126cd4e020e7000878f75d 高中 选择题 自招竞赛 给定平面向量 $\left( {1,1} \right)$，那么平面向量 $\left( {\dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2},\dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2}} \right)$ 是将向量 $\left( {1,1} \right)$ 经 \((\qquad)\) 2022-04-15 19:41:59
693 591275bce020e70007fbecbb 高中 选择题 自招竞赛 设向量 $\overrightarrow a, \overrightarrow b $ 满足 $\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1$，$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = m$，则 $\left| {\overrightarrow a + t\overrightarrow b } \right|\left( {t \in {\mathbb{R}}} \right)$ 的最小值为 \((\qquad)\) 2022-04-15 19:35:59
669 59685e4222d14000072f84e0 高中 选择题 自招竞赛 已知 $\left|\overrightarrow{a}\right|,\left|\overrightarrow{b}\right|$ 都是整数，且满足 $\left(\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|\right)\left(\left|\overrightarrow{a}\right|+3\left|\overrightarrow{b}\right|\right)=105$，$\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\cdot \left(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\right)=33$，则 $\overrightarrow{a}$ 和 $\overrightarrow{b}$ 的夹角为 \((\qquad)\) 2022-04-15 19:21:59
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