若数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=n^3-n^2,n\in\mathbb N^*$，则 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{2015}{\dfrac{1}{a_i+8i-2}}=$ ．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{2015}{6048}$
【解析】
当 $n\geqslant 2$ 时，有$$a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-5n+2,$$又 $a_1=0$，故$$a_n=3n^2-5n+2,n\in\mathbb N^*.$$所以$$\sum\limits_{i=1}^{2015}{\dfrac{1}{a_i+8i-2}}=\sum\limits_{i=1}^{2015}{\dfrac{1}{3i(i+1)}}=\dfrac13\sum\limits_{i=1}^{2015}{\left(\dfrac1i-\dfrac{1}{i+1}\right)}=\dfrac{2015}{6048}.$$
题目
答案
解析
备注
