数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=1$，$\dfrac{a_{2k}}{a_{2k-1}}=2$，$\dfrac{a_{2k+1}}{a_{2k}}=3$，$k\geqslant 1$，则其前 $100$ 项的和 $S_{100}=$ ．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛山西省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac 35\left(6^{50}-1\right)$
【解析】
因为\[\begin{split}&\dfrac{a_{2k+1}}{a_{2k-1}}=\dfrac{a_{2k+1}}{a_{2k}}\cdot \dfrac{a_{2k}}{a_{2k-1}}=6,\\& \dfrac{a_{2k+2}}{a_{2k}}=\dfrac{a_{2k+2}}{a_{2k+1}}\cdot \dfrac{a_{2k+1}}{a_{2k}}=6,\end{split}\]而 $a_1=1,a_2=2,$ 所以$$a_{2k-1}=6^{k-1},a_{2k}=2\cdot 6^{k-1}.$$则\[\begin{split}S_{100}&=(a_1+a_2)+(a_3+a_4)+\cdots +(a_{99}+a_{100})\\&=3\sum\limits_{k=1}^{50}{6^{k-1}}\\&=\dfrac 35(6^{50}-1).\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
