已知 ${\left( {\sqrt 3 + {\rm{i}}} \right)^m} = {\left( {1 + {\rm{i}}} \right)^n}$（$m , n \in {\mathbb N^ * }$），则 $mn$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$72$
【解析】
因为$$\begin{split}\left( {\sqrt 3 + {\rm{i}}} \right)^m=2^m\left(\cos \dfrac {m\pi}{6}+{\rm i}\sin \dfrac {m\pi}{4}\right),\\\left( {1 + {\rm{i}}} \right)^n=(\sqrt 2)^n\left(\cos \dfrac {n\pi}{4}+{\rm i}\sin \dfrac {n\pi}{4}\right),\end{split}$$所以\[\begin{cases}2^m=2^{\frac n2},\\ \dfrac{\pi}6\cdot m=\dfrac{\pi}4\cdot n+2k\pi,k\in \mathbb Z,\end{cases}\]于是符合题意的 $(m,n)$ 为 $(6,12)$．
题目
答案
解析
备注
