已知函数 $f(x)=\left|x{\rm e}^{x+1}\right|$，关于 $x$ 的方程 $f^2(x)+2\sin\alpha\cdot f(x)+\cos \alpha=0$ 有四个不等实根，且 $\sin\alpha-\cos\alpha\geqslant \lambda$ 恒成立，则实数 $\lambda$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-\dfrac 75$
【解析】
由于$$\left(x{\rm e}^{x+1}\right)'=(x+1){\rm e}^x,$$于是函数 $f(x)$ 的图象如下：
因此关于 $t$ 的方程$$t^2+2\sin\alpha\cdot t+\cos\alpha=0$$的两个实根 $t_1,t_2$ 可能有两种分布：
情形一 $t_1=0$，$t_2\in (0,1)$．
此时由 $t_1=0$ 可得 $\cos\alpha=0$，进而 $\sin\alpha=\pm 1$，于是 $t_2=\pm 2$，矛盾．
情形二 $t_1\in (0,1)$，$t_2\in (1,+\infty)$．
此时记关于 $t$ 的方程的左边为 $g(t)$，则$$\begin{cases} g(0)>0,\\ g(1)<0,\end{cases}$$即$$\begin{cases} \cos\alpha>0,\\ 2\sin\alpha +\cos\alpha +1<0.\end{cases} $$转化为规划问题：已知$$\begin{cases}x^2+y^2=1,\\2x+y+1<0,\\y>0,\end{cases}$$求 $x-y$ 的下确界．
如图，作出可行域弧 $AB$（不包含端点），其中 $A(-1,0)$，$B\left(-\dfrac 45,\dfrac 35\right)$．
因此 $x-y$ 的下确界为 $-\dfrac 75$，当 $(x,y)\to\left(-\dfrac 45,\dfrac 35\right)$ 时取得，也即 $\lambda$ 的最大值为 $-\dfrac 75$．
因此关于 $t$ 的方程$$t^2+2\sin\alpha\cdot t+\cos\alpha=0$$的两个实根 $t_1,t_2$ 可能有两种分布：此时由 $t_1=0$ 可得 $\cos\alpha=0$，进而 $\sin\alpha=\pm 1$，于是 $t_2=\pm 2$，矛盾．
此时记关于 $t$ 的方程的左边为 $g(t)$，则$$\begin{cases} g(0)>0,\\ g(1)<0,\end{cases}$$即$$\begin{cases} \cos\alpha>0,\\ 2\sin\alpha +\cos\alpha +1<0.\end{cases} $$转化为规划问题：已知$$\begin{cases}x^2+y^2=1,\\2x+y+1<0,\\y>0,\end{cases}$$求 $x-y$ 的下确界．
如图，作出可行域弧 $AB$（不包含端点），其中 $A(-1,0)$，$B\left(-\dfrac 45,\dfrac 35\right)$．
因此 $x-y$ 的下确界为 $-\dfrac 75$，当 $(x,y)\to\left(-\dfrac 45,\dfrac 35\right)$ 时取得，也即 $\lambda$ 的最大值为 $-\dfrac 75$．
题目
答案
解析
备注
