已知复数 $A,B,C$ 的模均为 $1$，且 $A+B+C\ne 0$，则 $\left|\dfrac{{AB+BC+CA}}{{A+B+C}}\right|=$ ．
【难度】
【出处】
2013年北京大学等三校联考自主招生保送生测试
【标注】
【答案】
$1$
【解析】
设所求的值为 $m>0$，则\[\begin{split}m^2&=\dfrac{AB+BC+CA}{A+B+C}\cdot \dfrac{\overline A\cdot\overline{B}+\overline B\cdot\overline C+\overline C\cdot\overline A}{\overline A+\overline B+\overline C}\\
&=\dfrac{\sum\limits_{cyc}\left(1+\overline A\cdot C+C\cdot\overline B\right)}{\sum\limits_{cyc}\left(1+B\cdot \overline A+C\cdot \overline A\right)}\\
&=1,\end{split}\]于是 $m=1$．
&=\dfrac{\sum\limits_{cyc}\left(1+\overline A\cdot C+C\cdot\overline B\right)}{\sum\limits_{cyc}\left(1+B\cdot \overline A+C\cdot \overline A\right)}\\
&=1,\end{split}\]于是 $m=1$．
题目
答案
解析
备注
