已知函数 $f(x)=x\left(\ln x-ax\right)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$ 且 $x_1<x_2$，试比较大小：$f(x_1)$ $0$，$f(x_2)$ $-\dfrac 12$（填“$>$”或“$<$”）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$<$，$>$
【解析】
$f(x)$ 的导函数$$f'(x)=1+\ln x-2ax.$$研究函数 $y=\dfrac{1+\ln x}x$ 可得 $0<a<1$，且$$\dfrac{1}{\rm e}<x_1<1<x_2.$$设 $x=m$ 为极值点，则$$\begin{split}f(m)&=m\left(\ln m -am\right)\\&=m\left(\ln m-\dfrac{1+\ln m}2\right)\\&=\dfrac 12m\left(\ln m-1\right),\end{split}$$因此，有 $f\left(x_1\right)<0$，且 $f\left(x_2\right)>-\dfrac 12$．
题目
答案
解析
备注
