在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为 $BC$ 的中点，$DM$ 平分 $\angle ADB$ 交 $AB$ 于 $M$，$DN$ 平分 $\angle ADC$ 交 $AC$ 于 $N$，则 $BM+CN$ 与 $MN$ 的大小关系是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$BM+CN>MN$
【解析】
根据已知，有$$\dfrac{{AM}}{{BM}} = \dfrac{{AD}}{{BD}} = \dfrac{{AD}}{{CD}} = \dfrac{AN}{{CN}},$$于是 $MN\parallel BC$．
设 $AD$ 与 $MN$ 交于点 $E$，则 $E$ 点平分 $MN$ 且$$MN = ME + EN = 2DE,$$于是 $BM + CN$ 与 $2DE$ 的大小关系可以转化为 $AB + AC$ 与 $2AD$ 的大小关系（平行线截割定理），而利用平行四边形容易证明在 $\triangle ABC$ 中，中线$$AD<\dfrac{{AB + AC}}{2},$$因此$$BM+CN>MN.$$
设 $AD$ 与 $MN$ 交于点 $E$，则 $E$ 点平分 $MN$ 且$$MN = ME + EN = 2DE,$$于是 $BM + CN$ 与 $2DE$ 的大小关系可以转化为 $AB + AC$ 与 $2AD$ 的大小关系（平行线截割定理），而利用平行四边形容易证明在 $\triangle ABC$ 中，中线$$AD<\dfrac{{AB + AC}}{2},$$因此$$BM+CN>MN.$$
题目
答案
解析
备注
