若 $ x\in \left[0,+\infty \right) $，则下列不等式恒成立的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年高考辽宁卷（理）
【标注】
【答案】
C
【解析】
用举反例的方法排除错误选项．
A中，令 $x= {\mathrm{e}}^{\ln100} $，左边 $ =100 $，而由于 $ 4<\ln 100<5 $，右边 $ =1+\ln 100+\ln^2 100<100 $，所以错误；
B中，$ x=-0.99 $ 时，左边 $ =10 $，右边 $ <2 $，显然不成立；
D中，当 $ x=4 $ 时，左边 $ =\ln 5 $，右边 $ =2 $，不等式显然不成立．
对于C，令 $f\left(x\right)=\cos x-1+\dfrac 1 2 x^2$，$ f'\left(x\right)=x-\sin x $，在 $ \left[0,+\infty\right) $ 内 $ f'\left(x\right)\geqslant 0 $ 恒成立，所以 $ f\left(x\right)\geqslant f\left(0\right)=0 $，所以C恒成立．
A中，令 $x= {\mathrm{e}}^{\ln100} $，左边 $ =100 $，而由于 $ 4<\ln 100<5 $，右边 $ =1+\ln 100+\ln^2 100<100 $，所以错误；
B中，$ x=-0.99 $ 时，左边 $ =10 $，右边 $ <2 $，显然不成立；
D中，当 $ x=4 $ 时，左边 $ =\ln 5 $，右边 $ =2 $，不等式显然不成立．
对于C，令 $f\left(x\right)=\cos x-1+\dfrac 1 2 x^2$，$ f'\left(x\right)=x-\sin x $，在 $ \left[0,+\infty\right) $ 内 $ f'\left(x\right)\geqslant 0 $ 恒成立，所以 $ f\left(x\right)\geqslant f\left(0\right)=0 $，所以C恒成立．
题目
答案
解析
备注
